Qual a posição relativa entre a reta X=(1,-1,2)+t(-1,0,4) e o plano 4 x-y+z=7 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de geometria analítica! O problema pede pra gente descobrir a posição relativa entre uma reta e um plano. Para isso, vamos precisar usar as equações da reta e do plano, e ver se a reta está dentro do plano, se é paralela ou se ela corta o plano em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que temos:
A reta está dada na forma paramétrica:
X = (1, -1, 2) + t cdot (-1, 0, 4)
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser descrito por:
x = 1 - t
y = -1 + 0 cdot t = -1
z = 2 + 4t
O plano é dado pela equação:
4x - y + z = 7

Passo 3

Agora, vamos substituir as expressões de 4(1 - t) - (-1) + (2 + 4t) = 7 , 4 - 4t + 1 + 2 + 4t = 7 e (4 + 1 + 2) + (-4t + 4t) = 7 da reta na equação do plano para encontrar o valor de 7 + 0 = 7 que faz essa igualdade verdadeira.
Substituindo:
7 = 7
Simplificando passo a passo:

Passo 4

Vimos que a equação se tornou uma verdade independente de . Isso significa que para qualquer valor de , os pontos da reta satisfazem a equação do plano. Ou seja, todos os pontos da reta estão no plano.

Resposta

A reta está contida no plano, ou seja, a reta e o plano são coincidentes.

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