Demonstre que o polinômio
é irredutível sobre
.
Dica: Divida em dois casos:
ímpar e
par. Depois, use a questão 5 para mostrar que se
, então
ou
.
Dica: Divida em dois casos:
Passo 1
Então, a gente precisa mostrar que o polinômio
é irredutível sobre os números inteiros
. Isso envolve entender sobre polinômios e o que significa eles serem irredutíveis, ou seja, não poderem ser fatorados em polinômios de menor grau com coeficientes inteiros. Vamos usar a dica que separa os casos quando
é ímpar e quando
é par, além de explorar algumas propriedades dos polinômios para provar a irredutibilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio irredutível. Um polinômio com coeficientes inteiros é irredutível sobre
se ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau menor que ele, também com coeficientes inteiros. Ou seja, se tentarmos fatorar
em
, um dos fatores
ou
deve ser um polinômio constante, ou seja, uma unidade em
(como 1 ou -1).
Passo 3
Vamos considerar primeiro o caso em que
é ímpar. Se assumirmos que
pode ser fatorado como
, onde
e
têm grau menor que
, então de acordo com a dica,
ou
deve ser uma unidade em
. Isso significa que o polinômio não pode ser fatorado de maneira não trivial, o que mostra que
é irredutível quando
é ímpar.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caso em que
é par. A abordagem é similar: assumimos que
com
e
de grau menor que
. Novamente, usando a dica, concluímos que um dos fatores deve ser uma unidade em
, o que significa que
não pode ser fatorado de maneira não trivial. Portanto,
também é irredutível quando
é par.
Resposta
Assim, mostramos que para qualquer número natural
, seja ele ímpar ou par, o polinômio
é irredutível sobre
.