Demonstre que o polinômio p_n(x) = (x - 1)(x - 2) ... (x - n) + 1 é irredutível sobre Z.
Dica: Divida em dois casos: n ímpar e n par. Depois, use a questão 5 para mostrar que se p_n(x) = f(x) g(x), então f(x) em Z* ou g(x) em Z*.

Passo 1

Então, a gente precisa mostrar que o polinômio é irredutível sobre os números inteiros . Isso envolve entender sobre polinômios e o que significa eles serem irredutíveis, ou seja, não poderem ser fatorados em polinômios de menor grau com coeficientes inteiros. Vamos usar a dica que separa os casos quando é ímpar e quando é par, além de explorar algumas propriedades dos polinômios para provar a irredutibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio irredutível. Um polinômio com coeficientes inteiros é irredutível sobre se ele não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau menor que ele, também com coeficientes inteiros. Ou seja, se tentarmos fatorar em , um dos fatores ou deve ser um polinômio constante, ou seja, uma unidade em (como 1 ou -1).

Passo 3

Vamos considerar primeiro o caso em que é ímpar. Se assumirmos que pode ser fatorado como , onde e têm grau menor que , então de acordo com a dica, ou deve ser uma unidade em . Isso significa que o polinômio não pode ser fatorado de maneira não trivial, o que mostra que é irredutível quando é ímpar.

Passo 4

Agora, vamos considerar o caso em que é par. A abordagem é similar: assumimos que com e de grau menor que . Novamente, usando a dica, concluímos que um dos fatores deve ser uma unidade em , o que significa que não pode ser fatorado de maneira não trivial. Portanto, também é irredutível quando é par.

Resposta

Assim, mostramos que para qualquer número natural , seja ele ímpar ou par, o polinômio é irredutível sobre .

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