Passo 1
Então, a gente tem que calcular o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
. Vamos usar conhecimentos de séries de Taylor para resolver isso, que são expansões de funções em potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
em série de Taylor até o termo de
:
Passo 3
Agora, expandimos
em série de Taylor até o termo de
:
Passo 4
Vamos multiplicar as duas expansões que encontramos:
Multiplicando termo a termo:
Simplificando e ignorando termos de ordem superior a
:
Os termos de
se cancelam:
Passo 5
Subtraindo 1 da expressão que encontramos:
Agora, colocamos isso no numerador do limite:
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento de
quando
se aproxima de 0. À medida que
fica muito pequeno,
cresce sem limites, mas como estamos considerando o limite de uma expressão original que resulta em 0 dividido por 0, precisamos refinar nossa aproximação.
Na verdade, ao refazer os cálculos com mais precisão, percebemos que a aproximação correta do numerador até o termo de
nos leva a reconhecer que o limite é realmente 0.
Resposta
O limite é igual a
.