lim x 0 raizx+1-1-x / 2x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx 0 raizx + 1 - 1 - x2x^3
Estamos lidando com um limite de funções que envolve raízes e polinômios. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor para simplificar a expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor para raiz1 + x = 1 + x2 - x^28 + x^316 - 5x^4128 + cdots em torno de :
Essa expansão nos ajuda a aproximar a função usando termos de potências de .

Passo 3

Agora, substituímos a expansão na expressão original:
raiz1 + x - 1 - x2 = (1 + x2 - x^28 + x^316 - cdots) - 1 - x2
Simplificando os termos:
raiz1 + x - 1 - x2 = -x^28 + x^316 - cdots

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação na fração do limite:
raiz1 + x - 1 - x2x^3 = -x^28 + x^316 - cdotsx^3
Dividindo cada termo pelo raiz1 + x - 1 - x2x^3 = -18x + 116 - cdots :

Passo 5

Observamos que, conforme se aproxima de 0, o termo domina a expressão, pois está no denominador e tenderá a infinito. Dependendo de como se aproxima de 0 (da direita ou da esquerda), o comportamento será:
  • Se se aproxima de 0 pela direita ( ), tende a .
  • Se se aproxima de 0 pela esquerda ( ), tende a .

Resposta

O limite não existe porque tende a limx 0 raizx + 1 - 1 - x2x^3 = Não existe (tende a -infty pela direita e +infty pela esquerda) quando se aproxima de 0 pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.
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