Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Estamos lidando com um limite de funções que envolve raízes e polinômios. Para resolver, vamos usar a expansão em série de Taylor para simplificar a expressão e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da expansão em série de Taylor para
em torno de
:
Essa expansão nos ajuda a aproximar a função
usando termos de potências de
.
Passo 3
Agora, substituímos a expansão na expressão original:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, substituímos essa simplificação na fração do limite:
Dividindo cada termo pelo
:
Passo 5
Observamos que, conforme
se aproxima de 0, o termo
domina a expressão, pois
está no denominador e tenderá a infinito. Dependendo de como
se aproxima de 0 (da direita ou da esquerda), o comportamento será:
- Se
se aproxima de 0 pela direita ( ), tende a . - Se
se aproxima de 0 pela esquerda ( ), tende a .
Resposta
O limite não existe porque tende a
quando
se aproxima de 0 pela direita e a
quando se aproxima pela esquerda.