Sejam D um domínio de fatoração única, K o corpo de frações de D e f(x) in D[x] um polinômio. Mostre que se f(x) é redutível sobre K, então f(x) é redutível sobre D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se um polinômio em é redutível sobre o corpo de frações , então ele também é redutível sobre . Aqui, é um domínio de fatoração única (UFD). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio de fatoração única, corpo de frações, e o que significa um polinômio ser redutível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um domínio de fatoração única (UFD). É um anel onde qualquer elemento pode ser escrito de forma única como produto de elementos irreduzíveis, até unidades e ordem. Isso é importante porque facilita a análise de fatores em polinômios.

Passo 3

O corpo de frações de é basicamente o conjunto de todas as frações onde o numerador e o denominador estão em , com o denominador diferente de zero. É o menor corpo que contém .

Passo 4

Agora, dizer que é redutível sobre significa que podemos escrever como o produto de dois polinômios de grau menor que o de em . Vamos chamar esses polinômios de e , então:

Passo 5

Como e estão em , podemos escrever seus coeficientes como frações cuenos numeradores e denominadores estão em . Vamos multiplicar e por elementos de para que todos os coeficientes fiquem em . Isso é possível porque é um UFD.

Passo 6

Depois de ajustar e para que seus coeficientes estejam em , temos que também pode ser escrito como produto de dois polinômios em com grau menor. Portanto, é redutível sobre .

Resposta

Portanto, mostramos que se é redutível sobre , então ele também é redutível sobre .

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