Sejam
um domínio de fatoração única,
o corpo de frações de
e
um polinômio. Mostre que se
é redutível sobre
, então
é redutível sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se um polinômio
em
é redutível sobre o corpo de frações
, então ele também é redutível sobre
. Aqui,
é um domínio de fatoração única (UFD). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como domínio de fatoração única, corpo de frações, e o que significa um polinômio ser redutível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um domínio de fatoração única (UFD). É um anel onde qualquer elemento pode ser escrito de forma única como produto de elementos irreduzíveis, até unidades e ordem. Isso é importante porque facilita a análise de fatores em polinômios.
Passo 3
O corpo de frações
de
é basicamente o conjunto de todas as frações onde o numerador e o denominador estão em
, com o denominador diferente de zero. É o menor corpo que contém
.
Passo 4
Agora, dizer que
é redutível sobre
significa que podemos escrever
como o produto de dois polinômios de grau menor que o de
em
. Vamos chamar esses polinômios de
e
, então:
Passo 5
Como
e
estão em
, podemos escrever seus coeficientes como frações cuenos numeradores e denominadores estão em
. Vamos multiplicar
e
por elementos de
para que todos os coeficientes fiquem em
. Isso é possível porque
é um UFD.
Passo 6
Depois de ajustar
e
para que seus coeficientes estejam em
, temos que
também pode ser escrito como produto de dois polinômios em
com grau menor. Portanto,
é redutível sobre
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
é redutível sobre
, então ele também é redutível sobre
.