Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 1 para a expressão:
Para resolver esse limite, vamos utilizar conceitos de cálculo de limites envolvendo funções logarítmicas e propriedades de limites. Precisaremos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos indeterminações como
ou
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 1.
Substituindo
no numerador:
No denominador:
Portanto, ao substituir
, temos uma forma indeterminada
, que sugere que o limite pode tender para
ou
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do limite para valores de
próximos a 1, tanto pela direita (
) quanto pela esquerda (
).
-
Quando
se aproxima de 1 pela direita ( ): - O denominador
tende para 0 positivo. - O numerador
tende para , que é negativo. - Portanto,
tende para .
- O denominador
-
Quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ): - O denominador
tende para 0 negativo. - O numerador permanece
, que é negativo. - Portanto,
tende para .
- O denominador
Passo 4
Como os limites laterais resultam em valores diferentes (
pela direita e
pela esquerda), concluímos que o limite geral não existe. Isso ocorre porque a função tende para valores opostos dependendo da direção pela qual
se aproxima de 1.
Resposta
O limite não existe, pois tende a
quando
se aproxima de 1 pela direita e a
quando se aproxima pela esquerda.