lim x 1 ln (x^2+1)-2 ln (x+1)x-1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando lim x 1 ln (x^2+1)-2 ln (x+1)x-1 se aproxima de 1 para a expressão:
Para resolver esse limite, vamos utilizar conceitos de cálculo de limites envolvendo funções logarítmicas e propriedades de limites. Precisaremos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos indeterminações como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando ln(1^2 + 1) - 2 ln(1 + 1) = ln(2) - 2 ln(2) = -ln(2) se aproxima de 1.
Substituindo 1 - 1 = 0 no numerador:
No denominador:
Portanto, ao substituir , temos uma forma indeterminada , que sugere que o limite pode tender para ou .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do limite para valores de próximos a 1, tanto pela direita ( ) quanto pela esquerda ( ).
  • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
    • O denominador tende para 0 positivo.
    • O numerador tende para , que é negativo.
    • Portanto, ú tende para .
  • Quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
    • O denominador tende para 0 negativo.
    • O numerador permanece , que é negativo.
    • Portanto, ú tende para .

Passo 4

Como os limites laterais resultam em valores diferentes ( pela direita e pela esquerda), concluímos que o limite geral não existe. Isso ocorre porque a função tende para valores opostos dependendo da direção pela qual se aproxima de 1.

Resposta

O limite não existe, pois tende a quando se aproxima de 1 pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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