Demonstre que os pontos e são vértices de um paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que os pontos , , e são vértices de um paralelogramo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Isso significa que os vetores que representam esses lados devem ter a mesma direção e magnitude.
Passo 3
Vamos calcular os vetores dos lados do quadrilátero formado pelos pontos dados. O vetor é dado pela diferença das coordenadas de e :
Passo 4
Agora, calculamos o vetor DC = (4-2, 5-4, 3-1) = (2, 1, 2) :
Passo 5
Observamos que , ou seja, os vetores são iguais. Isso mostra que os lados e são iguais e paralelos.
Passo 6
Vamos calcular agora os vetores AD = (2-1, 4-2, 1-2) = (1, 2, -1) e BC = (4-3, 5-3, 3-4) = (1, 2, -1) :
Passo 7
Vemos que , ou seja, esses vetores também são iguais. Isso confirma que os lados e são iguais e paralelos.
Passo 8
Como os lados opostos e , assim como e , são iguais em magnitude e direção, podemos concluir que os pontos , , e formam um paralelogramo.