Demonstre que os pontos A(1,2,2), B(3,3,4), C(4,5,3) e D(2,4,1) são vértices de um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que os pontos , , e são vértices de um paralelogramo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar que em um paralelogramo, os lados opostos são iguais e paralelos. Isso significa que os vetores que representam esses lados devem ter a mesma direção e magnitude.

Passo 3

Vamos calcular os vetores dos lados do quadrilátero formado pelos pontos dados. O vetor AB = (3-1, 3-2, 4-2) = (2, 1, 2) é dado pela diferença das coordenadas de e :

Passo 4

Agora, calculamos o vetor DC = (4-2, 5-4, 3-1) = (2, 1, 2) :

Passo 5

Observamos que , ou seja, os vetores são iguais. Isso mostra que os lados e são iguais e paralelos.

Passo 6

Vamos calcular agora os vetores AD = (2-1, 4-2, 1-2) = (1, 2, -1) e BC = (4-3, 5-3, 3-4) = (1, 2, -1) :

Passo 7

Vemos que , ou seja, esses vetores também são iguais. Isso confirma que os lados e são iguais e paralelos.

Passo 8

Como os lados opostos e , assim como e , são iguais em magnitude e direção, podemos concluir que os pontos , , e formam um paralelogramo.

Resposta

Os pontos , , e são vértices de um paralelogramo.

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