Determine um vetor unitário perpendicular aos vetores a=i-2 j+3 k e b=3 i-j+2 k.

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar um vetor unitário que seja perpendicular aos vetores a = i - 2j + 3k e b = 3i - j + 2k. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a dois vetores dados. Depois, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário, ou seja, com módulo igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores a = a1i + a2j + a3k e b = b1i + b2j + b3k é dado por:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Vamos substituir os valores dos vetores a e b:
a times b = i & j & k 1 & -2 & 3 3 & -1 & 2
Calculando o determinante:
a times b = i((-2)(2) - (3)(-1)) - j((1)(2) - (3)(3)) + k((1)(-1) - (-2)(3))
= i(-4 + 3) - j(2 - 9) + k(-1 + 6)
= i(-1) - j(-7) + k(5)
= -i + 7j + 5k

Passo 3

Agora, vamos encontrar o módulo do vetor a times b para transformar em vetor unitário. O módulo de um vetor v = vxi + vyj + vzk é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|a times b| = raiz(-1)^2 + 7^2 + 5^2 = raiz1 + 49 + 25 = raiz75 = 5raiz3

Passo 4

Para obter o vetor unitário, dividimos cada componente do vetor a times b pelo seu módulo:
u = a times b|a times b| = -i + 7j + 5k5raiz3 = ( -15raiz3 )i + ( 75raiz3 )j + ( 55raiz3 )k
Simplificando:
u = -15raiz3,i + 75raiz3,j + 1raiz3,k

Resposta

Um vetor unitário perpendicular aos vetores dados é:
u = -15raiz3,i + 75raiz3,j + 1raiz3,k

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