(a) É possível escrevermos a=(2,3,1) como combinação linear de u=(1,0,2), v= (0,-2,1) e w=(1,-4,4) ? Se sim, como? Se não, justifique. Em ambos, interprete à luz dos conceitos de dependência(LD) e independência linear(LI).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o vetor a = (2, 3, 1) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u = (1, 0, 2), v = (0, -2, 1) e w = (1, -4, 4). Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com combinação linear e conceitos de dependência e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinar linearmente os vetores u, v e w para obter a. Isso quer dizer que precisamos encontrar escalares (números) c1, c2 e c3 tais que:
c1 u + c2 v + c3 w = a
Ou seja:
c1 (1, 0, 2) + c2 (0, -2, 1) + c3 (1, -4, 4) = (2, 3, 1)

Passo 3

Vamos expandir essa equação vetor por componente para formar um sistema de equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 = 2 c1 cdot 0 + c2 cdot (-2) + c3 cdot (-4) = 3 c1 cdot 2 + c2 cdot 1 + c3 cdot 4 = 1
Simplificando, temos:
c1 + c3 = 2 -2c2 -4c3 = 3 2c1 + c2 +4c3 = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de c1, c2 e c3. Começamos da primeira equação:
c1 = 2 - c3
Substituímos c1 na terceira equação:
2(2 - c3) + c2 + 4c3 = 1 4 - 2c3 + c2 + 4c3 = 1 c2 + 2c3 = -3 (Equação A) çã
Agora, da segunda equação:
-2c2 -4c3 = 3
Podemos dividir essa equação por -2 para simplificar:
c2 + 2c3 = -32 (Equação B) çã
Mas observamos que a Equação A ( c2 + 2c3 = -3) e a Equação B ( c2 + 2c3 = -32) são inconsistentes, pois o mesmo lado esquerdo resulta em valores diferentes do lado direito.

Passo 5

Como chegamos a uma inconsistência nas equações, isso significa que não existe solução para c1, c2 e c3 que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Em outras palavras, não é possível escrever a = (2, 3, 1) como uma combinação linear dos vetores u, v e w.
Isso também nos diz algo sobre os vetores u, v e w. Se eles fossem linearmente independentes, qualquer vetor no espaço gerado por eles poderia ser expresso como combinação linear. Porém, a impossibilidade de expressar a indica que esses vetores são linearmente dependentes ou que a não está no espaço gerado por eles.

Resposta

Não, o vetor a = (2, 3, 1) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores u, v e w. Isso ocorre porque o sistema de equações resultante é inconsistente, mostrando que os vetores não são suficientes para gerar a, evidenciando dependência linear entre eles.

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