(a) É possível escrevermos como combinação linear de e ? Se sim, como? Se não, justifique. Em ambos, interprete à luz dos conceitos de dependência(LD) e independência linear(LI).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com combinação linear e conceitos de dependência e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa combinar linearmente os vetores , e para obter . Isso quer dizer que precisamos encontrar escalares (números) , e tais que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos expandir essa equação vetor por componente para formar um sistema de equações:
Simplificando, temos:
c1 + c3 = 2 -2c2 -4c3 = 3 2c1 + c2 +4c3 = 1
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de c1, c2 e c3. Começamos da primeira equação:
Podemos dividir essa equação por -2 para simplificar:
c2 + 2c3 = -32 (Equação B) çã
Mas observamos que a Equação A (c2 + 2c3 = -3) e a Equação B (c2 + 2c3 = -32) são inconsistentes, pois o mesmo lado esquerdo resulta em valores diferentes do lado direito.
Passo 5
Como chegamos a uma inconsistência nas equações, isso significa que não existe solução para c1, c2 e c3 que satisfaça todas as três equações simultaneamente. Em outras palavras, não é possível escrever a = (2, 3, 1) como uma combinação linear dos vetores u, v e w.
Isso também nos diz algo sobre os vetores u, v e w. Se eles fossem linearmente independentes, qualquer vetor no espaço gerado por eles poderia ser expresso como combinação linear. Porém, a impossibilidade de expressar a indica que esses vetores são linearmente dependentes ou que a não está no espaço gerado por eles.
Resposta
Não, o vetor a = (2, 3, 1) não pode ser escrito como combinação linear dos vetores u, v e w. Isso ocorre porque o sistema de equações resultante é inconsistente, mostrando que os vetores não são suficientes para gerar a, evidenciando dependência linear entre eles.