Demonstre as propriedades idempotentes da Tabela 1 mostrando que
b) A cap A=A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos demonstrar uma das propriedades idempotentes da interseção de conjuntos, que diz que para qualquer conjunto , a interseção dele com ele mesmo é igual a ( ). Isso pertence ao estudo de Teoria dos Conjuntos. Para resolver isso, vamos usar a definição de interseção de conjuntos e a propriedade de pertencimento de elementos.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa a interseção de dois conjuntos. A interseção A cap B = x mid x in A e x in B é o conjunto de todos os elementos que estão tanto em quanto em . Ou seja,
No nosso caso, como estamos fazendo , vamos substituir por .

Passo 3

Substituindo A cap A = x mid x in A e x in A por na definição de interseção, temos:
Isso significa que estamos coletando todos os elementos que estão em E em . Claro que, se um elemento está em , ele está em , então a condição "e " é redundante.

Passo 4

Como a condição para um elemento pertencer a A cap A = x mid x in A é apenas que ele pertença a , podemos simplificar a expressão:
E sabemos que é simplesmente o conjunto novamente.

Resposta

Portanto, mostramos que , comprovando a propriedade idempotente da interseção de conjuntos.

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