Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de três vetores no espaço tridimensional, que é . Nosso objetivo é descobrir quais desses conjuntos não são linearmente independentes (LI). Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se algum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que um conjunto de vetores é linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Matematicamente, se tivermos:
Então, para ser LI, a única solução para essa equação deve ser .
Passo 3
Agora, vamos montar um sistema de equações a partir dessa combinação linear:
Isso nos dá:
a + b = 0
2c = 0
a + c = 0
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Da segunda equação, temos que:
2c = 0 implies c = 0
Substituindo c = 0 na terceira equa��ão:
a + 0 = 0 implies a = 0
E então, substituindo a = 0 na primeira equação:
0 + b = 0 implies b = 0
Passo 5
Vimos que a única solução para a combinação linear ser zero é a = b = c = 0. Isso significa que os vetores no conjunto de são linearmente independentes. Porém, o enunciado pediu para identificar quais conjuntos não são LI. Como temos apenas um conjunto e ele é LI, não há conjuntos que não são LI.
Resposta
O conjunto de é linearmente independente. Portanto, não há conjuntos dentro de de que não sejam LI.