Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
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Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores no espaço tridimensional . Precisamos identificar se esse conjunto é linearmente independente (LI) ou não. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a determinar se os vetores são LI ou dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos escrever nenhum vetor do conjunto como uma combinação dos outros, então o conjunto é LI. Se conseguirmos, ele é linearmente dependente.

Passo 3

Para verificar a independência linear dos vetores em , vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Primeira Equação:
Segunda Equação:
Substituindo na segunda equação:
Essa equação não nos dá nenhuma informação nova.
Terceira Equação:
Substituindo :

Passo 5

Agora, observamos que os valores de e dependem de . Podemos escolher um valor diferente de zero para , por exemplo, , e então:
Isso significa que temos uma combinação linear não trivial (onde nem todos os coeficientes são zero) que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores em são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto não é linearmente independente.

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b) .
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