Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores
no espaço tridimensional
. Precisamos identificar se esse conjunto é linearmente independente (LI) ou não. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a determinar se os vetores são LI ou dependentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos escrever nenhum vetor do conjunto como uma combinação dos outros, então o conjunto é LI. Se conseguirmos, ele é linearmente dependente.
Passo 3
Para verificar a independência linear dos vetores em
, vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Primeira Equação:
Segunda Equação:
Substituindo
na segunda equação:
Essa equação não nos dá nenhuma informação nova.
Terceira Equação:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, observamos que os valores de
e
dependem de
. Podemos escolher um valor diferente de zero para
, por exemplo,
, e então:
Isso significa que temos uma combinação linear não trivial (onde nem todos os coeficientes são zero) que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores em
são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto
não é linearmente independente.
Exercícios relacionados
Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
Demonstre as propriedades idempotentes da Tabela 1 mostrando que
b) .
b)
Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
.
Identifique qual dos conjuntos abaixo não é um subespaço de
. Justifique.
.