Identifique quais dos conjuntos abaixo não são LI. Justifique.
alpha=(1,2,1),(2,4,0),(0,0,1) subset R^3.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de vetores alpha = (1,2,1), (2,4,0), (0,0,1) no espaço tridimensional R^3. Precisamos identificar se esse conjunto é linearmente independente (LI) ou não. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a determinar se os vetores são LI ou dependentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se não conseguimos escrever nenhum vetor do conjunto como uma combinação dos outros, então o conjunto é LI. Se conseguirmos, ele é linearmente dependente.

Passo 3

Para verificar a independência linear dos vetores em alpha, vamos montar uma combinação linear igual a zero:
c1(1,2,1) + c2(2,4,0) + c3(0,0,1) = (0,0,0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
  1. 1c1 + 2c2 + 0c3 = 0
  2. 2c1 + 4c2 + 0c3 = 0
  3. 1c1 + 0c2 + 1c3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Primeira Equação:
c1 + 2c2 = 0 Rightarrow c1 = -2c2
Segunda Equação:
2c1 + 4c2 = 0
Substituindo c1 = -2c2 na segunda equação:
2(-2c2) + 4c2 = -4c2 + 4c2 = 0
Essa equação não nos dá nenhuma informação nova.
Terceira Equação:
c1 + c3 = 0
Substituindo c1 = -2c2:
-2c2 + c3 = 0 Rightarrow c3 = 2c2

Passo 5

Agora, observamos que os valores de c1 e c3 dependem de c2. Podemos escolher um valor diferente de zero para c2, por exemplo, c2 = 1, e então:
c1 = -2 e c3 = 2
Isso significa que temos uma combinação linear não trivial (onde nem todos os coeficientes são zero) que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores em alpha são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto alpha = (1,2,1), (2,4,0), (0,0,1) não é linearmente independente.

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