Demonstre a propriedades: o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares não paralelas aos eixos coordenados é -1 .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente demonstrar que o produto dos coeficientes angulares (ou seja, as inclinações) de duas retas perpendiculares que não são paralelas aos eixos coordenados é igual a -1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre inclinações de retas e perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente angular de uma reta, geralmente denotado por
, representa a inclinação da reta. Quanto maior o valor de
, mais inclinada é a reta.
Passo 3
Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas for de 90 graus. Na geometria analítica, isso se traduz na relação entre seus coeficientes angulares.
Passo 4
Vamos supor que temos duas retas
e
com coeficientes angulares
e
, respectivamente. Como as retas não são paralelas aos eixos coordenados, sabemos que
e
são bem definidos e não são zero ou indefinidos.
Passo 5
Sabemos que a tangente do ângulo de inclinação de cada reta em relação ao eixo
é igual ao seu coeficiente angular. Então, para as retas
e
, temos:
Passo 6
Como as retas são perpendiculares, o ângulo entre elas é de 90 graus. Portanto:
Passo 7
Usando a identidade trigonométrica para a tangente de uma soma de ângulos:
Passo 8
Mas sabemos que
. Portanto:
Passo 9
Multiplicando
por
:
Resposta
Portanto, demonstramos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares não paralelas aos eixos coordenados é igual a
.