Demonstre a propriedades: o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares não paralelas aos eixos coordenados é -1 .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para a gente demonstrar que o produto dos coeficientes angulares (ou seja, as inclinações) de duas retas perpendiculares que não são paralelas aos eixos coordenados é igual a -1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre inclinações de retas e perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o coeficiente angular de uma reta, geralmente denotado por , representa a inclinação da reta. Quanto maior o valor de , mais inclinada é a reta.

Passo 3

Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas for de 90 graus. Na geometria analítica, isso se traduz na relação entre seus coeficientes angulares.

Passo 4

Vamos supor que temos duas retas e com coeficientes angulares e , respectivamente. Como as retas não são paralelas aos eixos coordenados, sabemos que e são bem definidos e não são zero ou indefinidos.

Passo 5

Sabemos que a tangente do ângulo de inclinação de cada reta em relação ao eixo tan(theta1) = m1 e tan(theta2) = m2 é igual ao seu coeficiente angular. Então, para as retas e , temos:

Passo 6

Como as retas são perpendiculares, o ângulo entre elas é de 90 graus. Portanto:
theta2 = theta1 + 90^circ

Passo 7

Usando a identidade trigonométrica para a tangente de uma soma de ângulos:
tan(theta2) = tan(theta1 + 90^circ) = -1tan(theta1) = -1m1

Passo 8

Mas sabemos que m2 = -1m1 . Portanto:

Passo 9

Multiplicando m1 times m2 = m1 times (-1m1) = -1 por :

Resposta

Portanto, demonstramos que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendiculares não paralelas aos eixos coordenados é igual a .

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