Seja A=[ccc1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 3 & 4 & 5]
(a) Calcule a inversa, se existir, da matriz A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a inversa da matriz 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 3 & 4 & 5, se ela existir. Isso está relacionado à matéria de Matrizes e Inversas. Para resolver, vamos precisar verificar se a matriz é invertível calculando seu determinante e, se for diferente de zero, utilizar a fórmula da matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante é uma medida que nos diz se a matriz tem inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31) , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos usar a expansão por cofatores:
det(A) = 1(1 cdot 5 - 1 cdot 4) - (-1)(0 cdot 5 - 1 cdot 3) + 0(0 cdot 4 - 1 cdot 3)
Substituindo os valores da matriz det(A) = 1(5 - 4) - (-1)(0 - 3) + 0(0 - 3) :
det(A) = 1(1) + 1(3) + 0(-3)
det(A) = 1 + 3 + 0 = 4

Passo 4

Como o determinante A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é diferente de zero, a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a inversa usando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de .

Passo 5

Para encontrar a adjunta Cofator11 = 1 & 1 4 & 5 = (1)(5) - (1)(4) = 5 - 4 = 1 , precisamos calcular a matriz dos cofatores de Cofator12 = -0 & 1 3 & 5 = -(0 cdot 5 - 1 cdot 3) = -(-3) = 3 e depois transpor essa matriz.
Primeiro, vamos calcular os cofatores de cada elemento de Cofator13 = 0 & 1 3 & 4 = (0)(4) - (1)(3) = 0 - 3 = -3 :
Cofator21 = --1 & 0 4 & 5 = -((-1)(5) - (0)(4)) = -(-5 - 0) = 5
Cofator22 = 1 & 0 3 & 5 = (1)(5) - (0)(3) = 5 - 0 = 5
Cofator23 = -1 & -1 3 & 4 = -((1)(4) - (-1)(3)) = - (4 + 3) = -7
Cofator31 = -1 & 0 1 & 1 = (-1)(1) - (0)(1) = -1 - 0 = -1
Cofator32 = -1 & 0 0 & 1 = -((1)(1) - (0)(0)) = -(1 - 0) = -1
Cofator33 = 1 & -1 0 & 1 = (1)(1) - (-1)(0) = 1 - 0 = 1
Cof(A) = 1 & 3 & -3 5 & 5 & -7 -1 & -1 & 1
Agora, organizamos os cofatores na matriz dos cofatores:

Passo 6

A adjunta adj(A) = Cof(A)^T = 1 & 5 & -1 3 & 5 & -1 -3 & -7 & 1 é a transposta da matriz dos cofatores:

Passo 7

Finalmente, calculamos a inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 14 cdot 1 & 5 & -1 3 & 5 & -1 -3 & -7 & 1 usando a fórmula mencionada:
A^-1 = 14 & 54 & -14 34 & 54 & -14 -34 & -74 & 14
Isso resulta em:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 14 & 54 & -14 34 & 54 & -14 -34 & -74 & 14 é:

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