Encontre, se existir, a inversa de
A=[lll 1 & 0 & 1 3 & 3 & 4 2 & 2 & 3 ]
Determine as soluções do sistema A X=B onde B=[1,1,1]^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz 1 1 1 e determinar as soluções do sistema , onde . Estamos lidando com matrizes e sistemas lineares aqui. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular determinantes, encontrar a inversa de uma matriz e resolver sistemas de equações usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A = 1 & 0 & 1 3 & 3 & 4 2 & 2 & 3 tem inversa. Para isso, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (3 cdot 3 - 4 cdot 2) - 0 cdot (3 cdot 3 - 4 cdot 2) + 1 cdot (3 cdot 2 - 3 cdot 2) . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
A matriz det(A) = 1 cdot (9 - 8) - 0 cdot (9 - 8) + 1 cdot (6 - 6) = 1 cdot 1 - 0 cdot 1 + 1 cdot 0 = 1 é:
Vamos calcular o determinante de :
Simplificando:
Como o determinante de é 1 (diferente de zero), a matriz é inversível.

Passo 3

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) tem inversa, vamos encontrá-la. Uma maneira de fazer isso é usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3, que envolve os cofatores e o determinante.
A fórmula para a inversa de Cij = (-1)^i+j cdot det(Mij) é:
3 & 4 2 & 3
Onde 3 & 4 2 & 3 é a matriz adjunta de 3 & 3 2 & 2 .
Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de 0 & 1 2 & 3 . Cada elemento 1 & 1 2 & 3 é dado por:
1 & 0 2 & 2
onde 0 & 1 3 & 4 é a matriz menor removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Calculando os cofatores:
  • 1 & 1 3 & 4
  • 1 & 0 3 & 3
  • C = 1 & -1 & 0 2 & 1 & -2 -3 & -1 & 3
  • adj(A) = C^T = 1 & 2 & -3 -1 & 1 & -1 0 & -2 & 3
  • A^-1 = 11 cdot 1 & 2 & -3 -1 & 1 & -1 0 & -2 & 3 = 1 & 2 & -3 -1 & 1 & -1 0 & -2 & 3
Agora, a matriz de cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a inversa de é:

Passo 4

Agora que temos a inversa de X = A^-1 B , podemos resolver o sistema X = 1 & 2 & -3 -1 & 1 & -1 0 & -2 & 3 cdot 1 1 1 usando a fórmula:
X = 0 -1 1
Vamos multiplicar pela matriz :
Calculando cada componente de :
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Então:

Resposta

A inversa de A^-1 = 1 & 2 & -3 -1 & 1 & -1 0 & -2 & 3 é
X = 0 -1 1
E a solução do sistema é

Exercícios relacionados