Encontre, se existir, a inversa de
Determine as soluções do sistema onde

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz e determinar as soluções do sistema , onde . Estamos lidando com matrizes e sistemas lineares aqui. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular determinantes, encontrar a inversa de uma matriz e resolver sistemas de equações usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz tem inversa. Para isso, vamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
Simplificando:
Como o determinante de é 1 (diferente de zero), a matriz é inversível.

Passo 3

Agora que sabemos que tem inversa, vamos encontrá-la. Uma maneira de fazer isso é usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3, que envolve os cofatores e o determinante.
A fórmula para a inversa de é:
Onde é a matriz adjunta de .
Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de . Cada elemento é dado por:
onde é a matriz menor removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Calculando os cofatores:
Agora, a matriz de cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a inversa de é:

Passo 4

Agora que temos a inversa de , podemos resolver o sistema usando a fórmula:
Vamos multiplicar pela matriz :
Calculando cada componente de :
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Então:

Resposta

A inversa de é
E a solução do sistema é

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Seja
(a) Calcule a inversa, se existir, da matriz .
Seja
(b) Encontre ttodas as soluções do sistema , onde .