Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz e determinar as soluções do sistema , onde . Estamos lidando com matrizes e sistemas lineares aqui. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular determinantes, encontrar a inversa de uma matriz e resolver sistemas de equações usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz tem inversa. Para isso, vamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
Simplificando:
Como o determinante de é 1 (diferente de zero), a matriz é inversível.
Passo 3
Agora que sabemos que tem inversa, vamos encontrá-la. Uma maneira de fazer isso é usar a fórmula da matriz inversa para matrizes 3x3, que envolve os cofatores e o determinante.
A fórmula para a inversa de é:
Onde é a matriz adjunta de .
Primeiro, vamos encontrar a matriz de cofatores de . Cada elemento é dado por:
onde é a matriz menor removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Calculando os cofatores:
Agora, a matriz de cofatores é:
A adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a inversa de é:
Passo 4
Agora que temos a inversa de , podemos resolver o sistema usando a fórmula: