Demonstre que: Prove: se p e q são dois números primos distintos, então p.q é um número irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que se e são dois números primos diferentes, então é irracional. Isso envolve conceitos de números primos e números racionais e irracionais. Vamos precisar lembrar o que é número irracional e usar a ideia de prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números primos. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos.

Passo 3

Agora, número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração , onde e são inteiros e . Exemplos famosos são e .

Passo 4

Vamos usar prova por contradição. Ou seja, vamos assumir que é racional e mostrar que isso leva a uma contradição.

Passo 5

Suponha que , onde e são inteiros sem fatores comuns (fração irreduzível).

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Isso significa que é múltiplo de . Como e são primos distintos, pelo teorema fundamental da aritmética, isso implica que divide e divide .

Passo 8

Se divide , então também divide . Ou seja, podemos escrever , onde é um inteiro.

Passo 9

Substituindo na equação :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Isso mostra que divide . Como e são primos distintos, não divide . Portanto, deve dividir , o que implica que divide .

Passo 11

Assim, tanto divide quanto divide . Mas isso contraria nossa suposição inicial de que e não tinham fatores comuns além de 1.

Resposta

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que é racional está errada. Portanto, é irracional.

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