Demonstre que: Prove: se p e q são dois números primos distintos, então
p.q é um número irracional.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que se
e
são dois números primos diferentes, então
é irracional. Isso envolve conceitos de números primos e números racionais e irracionais. Vamos precisar lembrar o que é número irracional e usar a ideia de prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números primos. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos.
Passo 3
Agora, número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Exemplos famosos são
e
.
Passo 4
Vamos usar prova por contradição. Ou seja, vamos assumir que
é racional e mostrar que isso leva a uma contradição.
Passo 5
Suponha que
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns (fração irreduzível).
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Isso significa que
é múltiplo de
. Como
e
são primos distintos, pelo teorema fundamental da aritmética, isso implica que
divide
e
divide
.
Passo 8
Se
divide
, então
também divide
. Ou seja, podemos escrever
, onde
é um inteiro.
Passo 9
Substituindo
na equação
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Isso mostra que
divide
. Como
e
são primos distintos,
não divide
. Portanto,
deve dividir
, o que implica que
divide
.
Passo 11
Assim, tanto
divide
quanto
divide
. Mas isso contraria nossa suposição inicial de que
e
não tinham fatores comuns além de 1.
Resposta
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que
é racional está errada. Portanto,
é irracional.