Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Sejam a , b e ę números reais. Tem-se: a < b + e, para todo ę > 0 -> a <= b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente provar que, se para quaisquer números reais , e , sempre que temos , então necessariamente . Vamos usar a contrapositiva para fazer essa demonstração. Para isso, precisamos entender o que é contrapositive: basicamente, é uma forma alternativa de provar uma afirmação, invertendo e negando tanto a hipótese quanto a conclusão original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que queremos provar: se para todo , então . Usando a contrapositiva, isso significa que vamos provar o contrário: se , então existe algum tal que .

Passo 3

Vamos assumir, para a contrapositive, que . Nosso objetivo é encontrar um positivo que satisfaça . Acho que o jeito mais fácil é escolher como a diferença entre e .

Passo 4

Definimos . Como , essa diferença será um número positivo ( ). Agora, vamos ver se .

Passo 5

Substituindo na desigualdade, temos:
Então, é verdadeira, já que qualquer número é igual a si mesmo.

Resposta

Portanto, mostramos que se , existe tal que . Isso, pela contrapositive, prova que se para todo , então definitivamente .

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