Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Sejam a , b e ę números reais. Tem-se:
, para todo ę
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente provar que, se para quaisquer números reais
,
e
, sempre que
temos
, então necessariamente
. Vamos usar a contrapositiva para fazer essa demonstração. Para isso, precisamos entender o que é contrapositive: basicamente, é uma forma alternativa de provar uma afirmação, invertendo e negando tanto a hipótese quanto a conclusão original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que queremos provar: se
para todo
, então
. Usando a contrapositiva, isso significa que vamos provar o contrário: se
, então existe algum
tal que
.
Passo 3
Vamos assumir, para a contrapositive, que
. Nosso objetivo é encontrar um
positivo que satisfaça
. Acho que o jeito mais fácil é escolher
como a diferença entre
e
.
Passo 4
Definimos
. Como
, essa diferença
será um número positivo (
). Agora, vamos ver se
.
Passo 5
Substituindo
na desigualdade, temos:
Então,
é verdadeira, já que qualquer número é igual a si mesmo.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, existe
tal que
. Isso, pela contrapositive, prova que se
para todo
, então definitivamente
.
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Determine as contrapositivas das seguintes sentenças. Empregue os mesmos modelos de apresentação para escrever cada contrapositiva.
, então
ou
.
Demonstre que: Prove: se p e q são dois números primos distintos, então
p.q é um número irracional.
Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear:
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.