Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido antihorário, a curva fechada dada pelas equações e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças ao percorrer uma curva fechada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Para resolver, precisamos entender um pouco sobre integrais de linha, campos vetoriais e o próprio Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Isso significa que podemos transformar uma integral de linha ao redor da curva em uma integral dupla sobre a região que delimita.
Passo 3
No nosso caso, o campo é , então e . Vamos aplicar o Teorema de Green para encontrar o trabalho :
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então:
Passo 5
Vamos identificar a região delimitada pela curva. A curva é composta por (eixo x), (linha vertical) e (curva). Para variando de 0 a 2, vai de 0 até .