Use o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças sobre uma partícula que percorre uma vez, no sentido antihorário, a curva fechada dada pelas equações e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças ao percorrer uma curva fechada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas. Para resolver, precisamos entender um pouco sobre integrais de linha, campos vetoriais e o próprio Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial e uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Isso significa que podemos transformar uma integral de linha ao redor da curva em uma integral dupla sobre a região que delimita.

Passo 3

No nosso caso, o campo é , então e . Vamos aplicar o Teorema de Green para encontrar o trabalho :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então:

Passo 5

Vamos identificar a região delimitada pela curva. A curva é composta por (eixo x), (linha vertical) e (curva). Para variando de 0 a 2, vai de 0 até .
Então, os limites da integral dupla serão:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla:
Primeiro vamos integrar em relação a :
Então, a integral fica:
Agora, vamos integrar em relação a :
Então:
Calculando nos limites:
Para :
Unificando os denominadores:
Para :
Então, o trabalho é:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças é .

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Questāo 4 (7 pts) : Determine os intervalos no qual a funçāo é crescente e/ou decrescente.
1
Questão 2 ( 12 pts : Encontre a derivada das funções abaixo.
a)
Use o Teorema de Green para calcular , onde , onde é a fronteira do quadrado de vértices e .
Demonstre que se é uma região no plano limitada por uma curva simples, fechada e suave por partes, então a área de , denotada por , pode ser dada por
em que a curva está orientada no sentido positivo.