Demonstre que:
é irracional. Certifique-se de que a mesma demonstração continua válida para os números
e etc. Qual a propriedade que os números
e 17 têm em comum? Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que
é irracional e que essa demonstração vale também para outras frações como
,
,
,
, entre outras. Além disso, precisamos identificar a propriedade comum dos números 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17, e generalizar o resultado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números irracionais e propriedades dos números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional não pode ser expresso como uma fração simples
, onde
e
são inteiros e
. Por exemplo,
é irracional.
Passo 3
Agora, vamos assumir que
é racional. Isso significa que podemos escrever
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns (fração simplificada).
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Passo 6
Vamos agora elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 8
Isso implica que
é igual a
. Aqui, notamos que o lado direito da equação,
, é múltiplo de 2. Portanto, o lado esquerdo,
, também deve ser múltiplo de 2. Como 3 é ímpar, isso significa que
deve ser múltiplo de 2, e assim
também deve ser múltiplo de 2.
Passo 9
Vamos supor que
, onde
é um inteiro. Substituindo na equação:
Passo 10
Isso mostra que
é múltiplo de 6, então
também é múltiplo de 6. Podemos escrever
, onde
é um inteiro.
Passo 11
Voltando à nossa equação original com
e
:
Passo 12
Isso significa que
pode ser simplificado para
, que é uma fração inteira. No entanto, isso contradiz nossa suposição inicial de que
é racional com
e
sem fatores comuns. Portanto, nossa suposição está errada.
Resposta
Assim, mostramos que
é irracional. A mesma lógica se aplica a frações como
,
,
,
, etc. A propriedade comum desses números é que todos são números primos. Portanto, a generalização é que para quaisquer dois números primos distintos
e
, a fração
é irracional. A prova segue o mesmo raciocínio de assumir que a fração é racional, chegar a uma contradição e, assim, concluir que a fração é irracional.
Exercícios relacionados
Prove que: A irracionalidade do número
. Dica: se
, então
.
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
, se
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.