Demonstre que: raiz(3) / raiz(2) é irracional. Certifique-se de que a mesma demonstração continua válida para os números raiz(5) / raiz(11), raiz(5) / raiz(2), raiz(13) / raiz(7), raiz(17) / raiz(3) e etc. Qual a propriedade que os números 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17 têm em comum? Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que raiz(3) / raiz(2) é irracional e que essa demonstração vale também para outras frações como , , , , entre outras. Além disso, precisamos identificar a propriedade comum dos números 2, 3, 5, 7, 11, 13 e 17, e generalizar o resultado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de números irracionais e propriedades dos números primos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional não pode ser expresso como uma fração simples a/b, onde a e b são inteiros e b != 0. Por exemplo, raiz(2) é irracional.

Passo 3

Agora, vamos assumir que é racional. Isso significa que podemos escrever , onde a e b são inteiros sem fatores comuns (fração simplificada).

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por raiz(2) para eliminar o denominador:

Passo 5

Agora, isolamos raiz(3):

Passo 6

Vamos agora elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 8

Isso implica que é igual a . Aqui, notamos que o lado direito da equação, , é múltiplo de 2. Portanto, o lado esquerdo, , também deve ser múltiplo de 2. Como 3 é ímpar, isso significa que deve ser múltiplo de 2, e assim b também deve ser múltiplo de 2.

Passo 9

Vamos supor que , onde k é um inteiro. Substituindo na equação:

Passo 10

Isso mostra que é múltiplo de 6, então a também é múltiplo de 6. Podemos escrever , onde m é um inteiro.

Passo 11

Voltando à nossa equação original com e :

Passo 12

Isso significa que pode ser simplificado para , que é uma fração inteira. No entanto, isso contradiz nossa suposição inicial de que é racional com a e b sem fatores comuns. Portanto, nossa suposição está errada.

Resposta

Assim, mostramos que é irracional. A mesma lógica se aplica a frações como , raiz(5) / raiz(2), , , etc. A propriedade comum desses números é que todos são números primos. Portanto, a generalização é que para quaisquer dois números primos distintos p e q, a fração é irracional. A prova segue o mesmo raciocínio de assumir que a fração é racional, chegar a uma contradição e, assim, concluir que a fração é irracional.

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