Prove que: A irracionalidade do número . Dica: se , então .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos provar que o número é irracional. Isso significa mostrar que não pode ser expresso como uma fração simples , onde e são números inteiros. Para resolver isso, vamos usar a dica que nos foi dada: se , então .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que seja racional. Ou seja, vamos assumir que existe uma fração tal que . Usando propriedades dos logaritmos, podemos reescrever isso como:

Passo 3

Para eliminar o expoente fracionário, elevamos ambos os lados da equação à potência :
Simplificando o lado esquerdo, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar a equação . Sabemos que pode ser fatorado como , então:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Aqui, notamos que o lado esquerdo da equação é uma potência de , enquanto o lado direito é um produto de potências de e . No entanto, , e são números primos distintos. Isso significa que, para a equação ser verdadeira, os expoentes de cada primo devem ser iguais nos dois lados.

Passo 6

Mas observamos que no lado esquerdo temos somente fatores de , enquanto no lado direito temos fatores de e além de . Isso cria uma contradição, porque não há como ser igual a a menos que , o que não faz sentido nesse contexto.

Passo 7

Como nossa suposição inicial levou a uma contradição, concluímos que nossa hipótese de que é racional está errada. Portanto, deve ser irracional.

Resposta

O número é irracional.

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