Prove que: A irracionalidade do número
. Dica: se
, então
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos provar que o número
é irracional. Isso significa mostrar que
não pode ser expresso como uma fração simples
, onde
e
são números inteiros. Para resolver isso, vamos usar a dica que nos foi dada: se
, então
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
seja racional. Ou seja, vamos assumir que existe uma fração
tal que
. Usando propriedades dos logaritmos, podemos reescrever isso como:
Passo 3
Para eliminar o expoente fracionário, elevamos ambos os lados da equação à potência
:
Simplificando o lado esquerdo, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar a equação
. Sabemos que
pode ser fatorado como
, então:
Portanto, a equação fica:
Passo 5
Aqui, notamos que o lado esquerdo da equação é uma potência de
, enquanto o lado direito é um produto de potências de
e
. No entanto,
,
e
são números primos distintos. Isso significa que, para a equação ser verdadeira, os expoentes de cada primo devem ser iguais nos dois lados.
Passo 6
Mas observamos que no lado esquerdo temos somente fatores de
, enquanto no lado direito temos fatores de
e
além de
. Isso cria uma contradição, porque não há como
ser igual a
a menos que
, o que não faz sentido nesse contexto.
Passo 7
Como nossa suposição inicial levou a uma contradição, concluímos que nossa hipótese de que
é racional está errada. Portanto,
deve ser irracional.
Resposta
O número
é irracional.
Exercícios relacionados
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
, se
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
Demonstre que:
é irracional. Certifique-se de que a mesma demonstração continua válida para os números
e etc. Qual a propriedade que os números
e 17 têm em comum? Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
.