Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a função
é uma solução da equação do calor, que é dada por
. Aqui,
representa a derivada parcial de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada parcial de
em relação à posição
. Precisamos encontrar um valor de
que faça essa igualdade verdadeira.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é
. Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Derivando
duas vezes em relação a
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação do calor
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Resposta
A função
é solução da equação do calor para
.
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Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
.
Demonstre que:
é irracional. Certifique-se de que a mesma demonstração continua válida para os números
e etc. Qual a propriedade que os números
e 17 têm em comum? Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele.
Mostre que uma condição necessária para
é
e
ou
e
.
Determine a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais parciais e verifique se é uma equação linear ou não linear: