Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor u_t = k u_xx, para alguma escolha conveniente de k.
u(x, t) = e^(-2 t) * sen(4 x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se a função é uma solução da equação do calor, que é dada por . Aqui, representa a derivada parcial de em relação ao tempo , e é a segunda derivada parcial de em relação à posição . Precisamos encontrar um valor de que faça essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é . Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Derivando duas vezes em relação a :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação do calor :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que ):

Resposta

A função é solução da equação do calor para .

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