Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função é uma solução da equação das ondas
para algum valor de
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
, e ver se conseguimos encontrar um
que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Começamos encontrando a primeira derivada:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 3
Segundo, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Começamos com a primeira derivada:
Agora, derivamos novamente em relação a
:
Passo 4
Agora que temos e , vamos substituir na equação das ondas
:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que não sejam zero):
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
E, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos
:
Resposta
Sim, a função é uma solução da equação das ondas
quando
.
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Demonstre que:
é irracional. Certifique-se de que a mesma demonstração continua válida para os números
e etc. Qual a propriedade que os números
e 17 têm em comum? Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele.
Prove que: A irracionalidade do número
. Dica: se
, então
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
Mostre que uma condição necessária para
é
e
ou
e
.