Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas u_tt = c^2 u_xx, para alguma escolha conveniente de c.
u(x, t) = sen(3x) sen(4t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função é uma solução da equação das ondas para algum valor de . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e , e ver se conseguimos encontrar um que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Começamos encontrando a primeira derivada:
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 3

Segundo, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Começamos com a primeira derivada:
Agora, derivamos novamente em relação a :

Passo 4

Agora que temos e , vamos substituir na equação das ondas :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que não sejam zero):

Passo 5

Agora, resolvemos para :
E, tirando a raiz quadrada de ambos os lados, encontramos :

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação das ondas quando .

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