Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
, se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma igualdade envolvendo adição de frações com números reais. A gente vai trabalhar com adição, multiplicação e divisão de números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar frações com denominadores diferentes usando o denominador comum.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão que precisamos provar:
Passo 3
Para somar duas frações, precisamos que elas tenham o mesmo denominador. Se não tiverem, encontramos um denominador comum. No nosso caso, os denominadores são
e
. O denominador comum será o produto deles:
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever cada fração com o denominador comum
.
Para
, multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Para
, multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Passo 5
Agora que ambas as frações têm o mesmo denominador, podemos somá-las diretamente:
Resposta
Portanto, mostramos que:
desde que
e
sejam diferentes de zero.
Exercícios relacionados
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
. Dica: pense um pouco onde se quer chegar e trabalhe com a soma
Prove que: A irracionalidade do número
. Dica: se
, então
.
Demonstre que:
é irracional. Certifique-se de que a mesma demonstração continua válida para os números
e etc. Qual a propriedade que os números
e 17 têm em comum? Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele.