Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. , se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma igualdade envolvendo adição de frações com números reais. A gente vai trabalhar com adição, multiplicação e divisão de números reais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar frações com denominadores diferentes usando o denominador comum.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão que precisamos provar:

Passo 3

Para somar duas frações, precisamos que elas tenham o mesmo denominador. Se não tiverem, encontramos um denominador comum. No nosso caso, os denominadores são e . O denominador comum será o produto deles: .

Passo 4

Agora, vamos reescrever cada fração com o denominador comum .
Para , multiplicamos o numerador e o denominador por :
Para , multiplicamos o numerador e o denominador por :

Passo 5

Agora que ambas as frações têm o mesmo denominador, podemos somá-las diretamente:

Resposta

Portanto, mostramos que:
desde que e sejam diferentes de zero.

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Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas , para alguma escolha conveniente de .
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. . Dica: pense um pouco onde se quer chegar e trabalhe com a soma
Prove que: A irracionalidade do número . Dica: se , então .
Demonstre que: é irracional. Certifique-se de que a mesma demonstração continua válida para os números e etc. Qual a propriedade que os números e 17 têm em comum? Enuncie uma generalização do resultado anterior e dê uma prova para ele.