Resolva os sistemas lineares abaixo por escalonamento.
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações lineares abaixo usando o método de escalonamento. As equações dadas são:
x + y + z = 4 2x + 5y - 2z = 3 4x + 7y = 11
Matéria envolvida: Sistemas lineares e método de escalonamento (eliminação). O que vamos precisar: Manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez até encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de forma que possamos eliminar uma das variáveis facilmente. Observando as equações, percebo que a terceira equação não tem a variável , então vamos usar as primeiras duas para eliminar .
Passo 3
Vamos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de 2(x + y + z) = 2 times 4 2x + 2y + 2z = 8 quando subtrairmos com a segunda equação:
2x + 2y + 2z = 8 2x + 5y - 2z = 3
Agora temos:
Passo 4
Vamos subtrair a segunda equação da primeira modificada para eliminar (2x + 2y + 2z) - (2x + 5y - 2z) = 8 - 3 (2x - 2x) + (2y - 5y) + (2z + 2z) = 5 -3y + 4z = 5 :
-3y + 4z = 5 (Equação 4)
Agora, temos uma nova equação:
çã
Passo 5
Agora, vamos usar a terceira equação original e a Equação 4 para resolver o sistema. Primeiramente, vamos resolver a terceira equação para 4x + 7y = 11 4x = 11 - 7y x = 11 - 7y4 :
Passo 6
Vamos substituir x + y + z = 4 11 - 7y4 + y + z = 4 na primeira equação para encontrar uma relação entre 11 - 7y + 4y + 4z = 16 11 - 3y + 4z = 16 -3y + 4z = 5 e :
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Perceba que chegamos novamente na Equação 4. Isso confirma que nossas manipulações estão corretas.
Vamos resolver a Equação 4 para -3y + 4z = 5 -3y = 5 - 4z y = 4z - 53 :
Passo 8
Com x = 11 - 7y4 x = 11 - 7(4z - 53)4 x = 11 - 28z - 3534 x = 33 - 28z + 3534 x = 68 - 28z12 x = 17 - 7z3 expresso em termos de , vamos substituir na expressão que encontramos para :
Passo 9
Agora, temos -3y + 4z = 5 -3(4z - 53) + 4z = 5 - (4z - 5) + 4z = 5 -4z + 5 + 4z = 5 5 = 5 e em termos de . Para encontrar o valor de , vamos usar a Equação 4 novamente:
Esta identidade nos mostra que o sistema possui infinitas soluções, e pode ser qualquer valor real. Portanto, expressamos e em função de .
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, onde:
x = 17 - 7z3 y = 4z - 53 z é qualquer número real éú