Demonstre as seguintes afirmações:
(b) e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se não é vazio e o produto cartesiano está contido em , então está contido em . Isso está no campo da Teoria dos Conjuntos, especificamente lidando com produtos cartesianos e relações de subconjunto. Para resolver, vamos precisar entender o que é produto cartesiano e como ele funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é produto cartesiano. Dado dois conjuntos e , o produto cartesiano é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de e o segundo de . Ou seja,

Passo 3

Sabemos que . Isso significa que todo par ordenado que pertence a também pertence a . Ou seja, se e , então necessariamente .

Passo 4

Como não é vazio, existe pelo menos um elemento em . Vamos pegar esse elemento . Agora, para qualquer , o par pertence a porque e .

Passo 5

Como , o par também deve pertencer a . Pelo definição de produto cartesiano, isso implica que deve estar em , já que já está em .

Passo 6

Portanto, para todo , concluímos que . Isso significa que todo elemento de está também em , ou seja, .

Resposta

Concluímos que sempre que e .

Exercícios relacionados

Considere os conjuntos e .
© Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja falsa, reescreva de maneira que se torne verdadeira.
i. ;
ii. ;
iii. ;
iv. ;
v. ;
vi. ;
vii. ;
Considere os conjuntos e .
(b) Os dois conjuntos têm algum elemento em comum?
Resolva as asguintes integrais:
Considerando e , determine quais relações abaixo definem uma função e quais não definem uma função. Justifique a sua resposta.
(a) ;