Demonstre as seguintes afirmações:
(b)
e
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se
não é vazio e o produto cartesiano
está contido em
, então
está contido em
. Isso está no campo da Teoria dos Conjuntos, especificamente lidando com produtos cartesianos e relações de subconjunto. Para resolver, vamos precisar entender o que é produto cartesiano e como ele funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é produto cartesiano. Dado dois conjuntos
e
, o produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de
e o segundo de
. Ou seja,
Passo 3
Sabemos que
. Isso significa que todo par ordenado
que pertence a
também pertence a
. Ou seja, se
e
, então necessariamente
.
Passo 4
Como
não é vazio, existe pelo menos um elemento
em
. Vamos pegar esse elemento
. Agora, para qualquer
, o par
pertence a
porque
e
.
Passo 5
Como
, o par
também deve pertencer a
. Pelo definição de produto cartesiano, isso implica que
deve estar em
, já que
já está em
.
Passo 6
Portanto, para todo
, concluímos que
. Isso significa que todo elemento de
está também em
, ou seja,
.
Resposta
Concluímos que
sempre que
e
.
Exercícios relacionados
Considere os conjuntos
e
.
© Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja falsa, reescreva de maneira que se torne verdadeira.
i. ;
ii. ;
iii. ;
iv. ;
v. ;
vi. ;
vii. ;
© Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja falsa, reescreva de maneira que se torne verdadeira.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
Considere os conjuntos
e
.
(b) Os dois conjuntos têm algum elemento em comum?
(b) Os dois conjuntos têm algum elemento em comum?
Resolva as asguintes integrais:
Considerando
e
, determine quais relações abaixo definem uma função e quais não definem uma função. Justifique a sua resposta.
(a) ;
(a)