Resolva as asguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o cálculo de integrais que aparecem no estudo de funções envolvendo raízes quadradas e potências de
. Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com expressões quadráticas dentro de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão
, percebemos que ela se assemelha à forma
, que é ideal para a substituição trigonométrica
. Aqui,
, então vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando da substituição
, temos:
Usando uma identidade trigonométrica, sabemos que:
Portanto:
Resposta
A integral resolvida é:
onde
é a constante de integração.