Resolva as asguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que aparecem no estudo de funções envolvendo raízes quadradas e potências de . Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão , percebemos que ela se assemelha à forma , que é ideal para a substituição trigonométrica . Aqui, , então vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando da substituição , temos:
Usando uma identidade trigonométrica, sabemos que:
Portanto:

Resposta

A integral resolvida é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes afirmações:
(b) e ;
Considere os conjuntos e .
© Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja falsa, reescreva de maneira que se torne verdadeira.
i. ;
ii. ;
iii. ;
iv. ;
v. ;
vi. ;
vii. ;
Considerando e , determine quais relações abaixo definem uma função e quais não definem uma função. Justifique a sua resposta.
(a) ;
Considerando e , determine quais relações abaixo definem uma função e quais não definem uma função. Justifique a sua resposta.
© ;