Resolva as asguintes integrais: (10) integral 1x^2 raizx^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que aparecem no estudo de funções envolvendo raízes quadradas e potências de . Para resolver, vamos precisar usar substituição trigonométrica, que ajuda a simplificar integrais com expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a expressão x = 3 sec(theta) , percebemos que ela se assemelha à forma , que é ideal para a substituição trigonométrica . Aqui, , então vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos encontrar dx = 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral 1x^2 raizx^2-9 , dx = integral 1(3 sec(theta))^2 raiz(3 sec(theta))^2 - 9 cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
  1. integral 19 sec^2(theta) cdot 3 tan(theta) cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Simplificando a expressão:
integral 127 sec^2(theta) tan(theta) cdot 3 sec(theta) tan(theta) , dtheta = integral 3 sec(theta) tan(theta)27 sec^2(theta) tan(theta) , dtheta = integral 19 sec(theta) , dtheta
Sabemos que 19 sec(theta) = cos(theta)9 , então:
integral cos(theta)9 , dtheta = 19 integral cos(theta) , dtheta = 19 sin(theta) + C
Portanto, a integral fica:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sec(theta) = x3 Rightarrow theta = arcsec(x3) . Lembrando da substituição sin(theta) = raiz1 - cos^2(theta) = raiz1 - (3x)^2 = raizx^2 - 9x^2 = raizx^2 - 9x , temos:
Usando uma identidade trigonométrica, sabemos que:
19 sin(theta) = 19 cdot raizx^2 - 9x
Portanto:

Resposta

A integral resolvida é:
integral 1x^2 raizx^2-9 , dx = raizx^2 - 99x + C
onde é a constante de integração.

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