Demonstre as seguintes afirmações pelo método da redução ao absurdo:
(b) Se não divide , então não divide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A questão pede para demonstrar que, se não divide , então não divide . Vamos usar o método da redução ao absurdo, que é basicamente assumir o contrário do que queremos provar e ver se chega a uma contradição. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre divisibilidade e como funciona uma prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dividir . Dizemos que divide se existe um inteiro tal que . Agora, queremos provar que se isso não acontece, ou seja, se não divide , então também não divide .

Passo 3

Vamos começar supondo o contrário do que queremos provar, para usar a redução ao absurdo. Ou seja, vamos assumir que divide . Isso significa que existe um inteiro tal que .

Passo 4

Se substituirmos por na expressão , teremos:

Passo 5

Observe que é também um inteiro, já que e são inteiros. Vamos chamar . Assim, podemos escrever:
Isso mostra que divide , porque encontramos um inteiro tal que .

Passo 6

Mas isso é uma contradição com a nossa premissa inicial, que dizia que não divide . Ou seja, assumimos que divide , e isso levou a conclusão de que divide , o que vai contra o que foi dado.

Resposta

Portanto, nossa suposição de que divide está errada. Assim, se não divide , então realmente não divide .

Exercícios relacionados

Para cada afirmação a seguir, escreva a sua negação. (Considere que as afirmações se referem a números reais.)
(a) .
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
© Não existe número racional cujo quadrado é 2 .
Considerando o domínio de discurso , determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
© .
Considere o universo e os subconjuntos e . Represente os conjuntos e com um diagrama de Venn e determine os conjuntos e .