Demonstre as seguintes afirmações pelo método da redução ao absurdo:
(b) Se
não divide
, então
não divide
.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A questão pede para demonstrar que, se
não divide
, então
não divide
. Vamos usar o método da redução ao absurdo, que é basicamente assumir o contrário do que queremos provar e ver se chega a uma contradição. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre divisibilidade e como funciona uma prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
dividir
. Dizemos que
divide
se existe um inteiro
tal que
. Agora, queremos provar que se isso não acontece, ou seja, se
não divide
, então
também não divide
.
Passo 3
Vamos começar supondo o contrário do que queremos provar, para usar a redução ao absurdo. Ou seja, vamos assumir que
divide
. Isso significa que existe um inteiro
tal que
.
Passo 4
Se substituirmos
por
na expressão
, teremos:
Passo 5
Observe que
é também um inteiro, já que
e
são inteiros. Vamos chamar
. Assim, podemos escrever:
Isso mostra que
divide
, porque encontramos um inteiro
tal que
.
Passo 6
Mas isso é uma contradição com a nossa premissa inicial, que dizia que
não divide
. Ou seja, assumimos que
divide
, e isso levou a conclusão de que
divide
, o que vai contra o que foi dado.
Resposta
Portanto, nossa suposição de que
divide
está errada. Assim, se
não divide
, então
realmente não divide
.
Exercícios relacionados
Para cada afirmação a seguir, escreva a sua negação. (Considere que as afirmações se referem a números reais.)
(a) .
(a)
Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica. Em seguida, escreva a negação, em português e simbólica, de cada uma delas.
© Não existe número racional cujo quadrado é 2 .
© Não existe número racional cujo quadrado é 2 .
Considerando o domínio de discurso
, determine se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa (Justifique demonstrando a afirmação ou sua negação, dependendo do caso).
© .
©
Considere o universo
e os subconjuntos
e
. Represente os conjuntos
e
com um diagrama de Venn e determine os conjuntos
e
.