Demonstre as seguintes afirmações:
(a) O polinômio tem alguma raiz real no intervalo .
(b) A equação tem pelo menos duas soluções reais.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. No item (a), temos o polinômio e precisamos mostrar que ele tem pelo menos uma raiz real no intervalo . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar se uma função contínua cruza o eixo x em um determinado intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o valor de nos pontos extremos do intervalo, ou seja, em e .
Para :
Para :

Passo 3

Observamos que e . Como o polinômio é contínuo e os sinais dos valores em e são diferentes (positivo e negativo), pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor de no intervalo onde .

Passo 4

Agora, vamos para o item (b). Precisamos mostrar que a equação tem pelo menos duas soluções reais. Para isso, vamos analisar as funções e e ver onde elas se cruzam, ou seja, onde .

Passo 5

Vamos considerar a diferença das funções:
Queremos encontrar os valores de onde .

Passo 6

Calculamos alguns valores de para entender o comportamento da função:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Analisando os valores calculados:
  • De para , passa de positivo para negativo, o que indica uma raiz nesse intervalo.
  • De para , passa de negativo para positivo, indicando outra raiz nesse intervalo.

Passo 8

Como há mudanças de sinal em dois intervalos diferentes, pelo Teorema do Valor Intermediário, a equação tem pelo menos duas soluções reais.

Resposta

A equação tem pelo menos duas soluções reais.

Exercícios relacionados

Aplique o teorema do confronto (ou sanduíche) para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)
© .
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) .
(h) .
(i) .
(j) .
(k) .
(l) .
Sejam e polinômios de grau e , respectivamente. Encontre o valor de quando o grau de for:
(a) Menor que o grau de .
(b) Maior ou igual que o grau de .
Prove, pela definição, que .