Demonstre as seguintes afirmações:
(a) O polinômio
tem alguma raiz real no intervalo
.
(b) A equação
tem pelo menos duas soluções reais.
(a) O polinômio
(b) A equação
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. No item (a), temos o polinômio
e precisamos mostrar que ele tem pelo menos uma raiz real no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a determinar se uma função contínua cruza o eixo x em um determinado intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o valor de
nos pontos extremos do intervalo, ou seja, em
e
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Observamos que
e
. Como o polinômio é contínuo e os sinais dos valores em
e
são diferentes (positivo e negativo), pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um valor de
no intervalo
onde
.
Passo 4
Agora, vamos para o item (b). Precisamos mostrar que a equação
tem pelo menos duas soluções reais. Para isso, vamos analisar as funções
e
e ver onde elas se cruzam, ou seja, onde
.
Passo 5
Vamos considerar a diferença das funções:
Queremos encontrar os valores de
onde
.
Passo 6
Calculamos alguns valores de
para entender o comportamento da função:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Analisando os valores calculados:
- De
para , passa de positivo para negativo, o que indica uma raiz nesse intervalo. - De
para , passa de negativo para positivo, indicando outra raiz nesse intervalo.
Passo 8
Como há mudanças de sinal em dois intervalos diferentes, pelo Teorema do Valor Intermediário, a equação
tem pelo menos duas soluções reais.
Resposta
A equação
tem pelo menos duas soluções reais.
Exercícios relacionados
Aplique o teorema do confronto (ou sanduíche) para calcular os seguintes limites:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g) .
(h) .
(i) .
(j) .
(k) .
(l) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
Sejam
e
polinômios de grau
e
, respectivamente. Encontre o valor de
quando o grau de
for:
(a) Menor que o grau de .
(b) Maior ou igual que o grau de .
(a) Menor que o grau de
(b) Maior ou igual que o grau de
Prove, pela definição, que
.