Demonstre as seguintes afirmações:
(e)
.
(e)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos provar que o produto vetorial de
por
é igual a
. Para isso, vamos utilizar a propriedade distributiva do produto vetorial, que é um conceito fundamental na álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
, denotado por
, resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos
e
e cuja magnitude é dada pelo produto das magnitudes de
e
e pelo seno do ângulo entre eles.
Passo 3
Uma das propriedades importantes do produto vetorial é a distributividade em relação à adição de vetores. Isso significa que:
Agora, vamos aplicar essa propriedade à expressão
.
Passo 4
Note que subtrair um vetor
é o mesmo que adicionar
. Então, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que o produto vetorial com um vetor negativo altera a direção do resultado:
Portanto, substituindo na expressão anterior:
Resposta
Assim, demonstramos que: