Demonstre as seguintes afirmações:
(e) .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos provar que o produto vetorial de por é igual a . Para isso, vamos utilizar a propriedade distributiva do produto vetorial, que é um conceito fundamental na álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e , denotado por , resulta em um novo vetor que é perpendicular a ambos e e cuja magnitude é dada pelo produto das magnitudes de e e pelo seno do ângulo entre eles.

Passo 3

Uma das propriedades importantes do produto vetorial é a distributividade em relação à adição de vetores. Isso significa que:
Agora, vamos aplicar essa propriedade à expressão .

Passo 4

Note que subtrair um vetor é o mesmo que adicionar . Então, podemos reescrever a expressão da seguinte forma:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que o produto vetorial com um vetor negativo altera a direção do resultado:
Portanto, substituindo na expressão anterior:

Resposta

Assim, demonstramos que:

Exercícios relacionados

Demonstre as seguintes afirmações:
(a) e ;
Considere os conjuntos e .
(a) Construa os conjuntos e .
Considerando e , determine quais relações abaixo definem uma função e quais não definem uma função. Justifique a sua resposta.
(b) ;
Considerando ainda os conjuntos e , determine duas relações que são funções e duas relações que não são funções, todas distintas daquelas já apresentadas nos exercícios.