Demonstre as seguintes identidades trigonométricas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar uma identidade trigonométrica específica:
Isso significa que precisamos mostrar que, ao simplificar o lado esquerdo usando as propriedades das funções trigonométricas, ele é igual ao lado direito. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas, como a relação entre seno, cosseno e tangente, além das fórmulas de ângulos duplos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é igual a
. Então, vamos reescrever
:
Passo 3
Agora, para somar esses termos, temos que ter o mesmo denominador. Assim, vamos escrever o 1 como
:
Sabemos que
(uma das identidades trigonométricas fundamentais), então:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos substituir isso na expressão original:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 5
Agora, vamos ver o lado direito da identidade que precisamos demonstrar, que é
. Sabemos que:
Ou também pode ser expresso como:
Passo 6
Comparando os dois lados que obtivemos:
E sabemos que
pode ser igual a 1 somente para valores específicos de
, como
,
, etc. Portanto, a identidade dada não é válida para todos os valores de
, a menos que haja alguma condição específica no enunciado que não foi mencionada.
Resposta
A identidade
simplifica para
, que só é verdadeira para valores específicos de
.