Demonstre as seguintes identidades trigonométricas
(1 + tg^2(x))(1 - sen^2(x)) = cos(2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar uma identidade trigonométrica específica:
Isso significa que precisamos mostrar que, ao simplificar o lado esquerdo usando as propriedades das funções trigonométricas, ele é igual ao lado direito. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas, como a relação entre seno, cosseno e tangente, além das fórmulas de ângulos duplos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é igual a . Então, vamos reescrever :

Passo 3

Agora, para somar esses termos, temos que ter o mesmo denominador. Assim, vamos escrever o 1 como :
Sabemos que (uma das identidades trigonométricas fundamentais), então:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos substituir isso na expressão original:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 5

Agora, vamos ver o lado direito da identidade que precisamos demonstrar, que é . Sabemos que:
Ou também pode ser expresso como:

Passo 6

Comparando os dois lados que obtivemos:
E sabemos que pode ser igual a 1 somente para valores específicos de , como , , etc. Portanto, a identidade dada não é válida para todos os valores de , a menos que haja alguma condição específica no enunciado que não foi mencionada.

Resposta

A identidade simplifica para , que só é verdadeira para valores específicos de .

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