Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura ( ) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia e terminou 36 horas depois . Os dados puderam ser aproximados pela função , em que indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação à temperatura (em ) no instante .
Determine a temperatura máxima e qual(is) foi(ram) o(s) horário(s) em que ela(s) ocorreu(ram). E a mínima? Em qual(is) foi(ram) o(s) horário(s) em que ela(s) ocorreu(ram)?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui! Temos uma função que descreve a temperatura do solo ao longo do tempo, dada por , onde é o tempo em horas, começando da zero até 36 horas. Nosso objetivo é descobrir qual foi a temperatura máxima e mínima registrada e em quais horários isso aconteceu. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos onde a temperatura atinge esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação ao tempo . A derivada nos mostra como a temperatura está mudando a cada instante.
A função é:
A derivada de é:

Passo 3

Para encontrar os pontos onde a temperatura é máxima ou mínima, vamos resolver quando a derivada é igual a zero:
Isso acontece quando:
Sabemos que o seno é zero em múltiplos de :
Onde é um número inteiro.
Resolvendo para :
Como varia de 0 a 36 horas, os valores de que fazem sentido são de 0 a 9 (já que ).
Então, os pontos críticos são:
horas.

Passo 4

Agora, vamos analisar cada um desses pontos para determinar se é uma temperatura máxima ou mínima. Para isso, podemos olhar para o comportamento da função ao redor desses pontos ou usar a segunda derivada para verificar a concavidade.
Vamos simplificar observando a função original .
O cosseno varia entre -1 e 1. Portanto:
  • Quando ,
  • Quando ,
Isso significa que:
  • Temperatura mínima:
  • Temperatura máxima:

Passo 5

Agora, vamos descobrir em quais horários essas temperaturas ocorreram.
  • Temperatura mínima ( ) ocorre quando .
Isso acontece quando:
horas.
  • Temperatura máxima ( ) ocorre quando .
Isso acontece quando:
horas.

Resposta

A temperatura máxima de ocorreu às 4, 12, 20, 28 e 36 horas. A temperatura mínima de ocorreu às 0, 8, 16, 24 e 32 horas.

Exercícios relacionados

Resolva as equações:
Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura ( ) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia e terminou 36 horas depois . Os dados puderam ser aproximados pela função , em que indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação à temperatura (em ) no instante .
Determine o período da função.
Resolva as inequações:
Demonstre as seguintes identidades trigonométricas