Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura (
) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia
e terminou 36 horas depois
. Os dados puderam ser aproximados pela função
, em que
indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação
à temperatura (em
) no instante
.
Determine a temperatura máxima e qual(is) foi(ram) o(s) horário(s) em que ela(s) ocorreu(ram). E a mínima? Em qual(is) foi(ram) o(s) horário(s) em que ela(s) ocorreu(ram)?
Determine a temperatura máxima e qual(is) foi(ram) o(s) horário(s) em que ela(s) ocorreu(ram). E a mínima? Em qual(is) foi(ram) o(s) horário(s) em que ela(s) ocorreu(ram)?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui! Temos uma função que descreve a temperatura do solo ao longo do tempo, dada por
, onde
é o tempo em horas, começando da zero até 36 horas. Nosso objetivo é descobrir qual foi a temperatura máxima e mínima registrada e em quais horários isso aconteceu. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos onde a temperatura atinge esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação ao tempo
. A derivada nos mostra como a temperatura está mudando a cada instante.
A função é:
A derivada de
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos onde a temperatura é máxima ou mínima, vamos resolver quando a derivada
é igual a zero:
Isso acontece quando:
Sabemos que o seno é zero em múltiplos de
:
Onde
é um número inteiro.
Resolvendo para
:
Como
varia de 0 a 36 horas, os valores de
que fazem sentido são de 0 a 9 (já que
).
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada um desses pontos para determinar se é uma temperatura máxima ou mínima. Para isso, podemos olhar para o comportamento da função ao redor desses pontos ou usar a segunda derivada para verificar a concavidade.
Vamos simplificar observando a função original
.
O cosseno varia entre -1 e 1. Portanto:
- Quando
, - Quando
,
Isso significa que:
- Temperatura mínima:
- Temperatura máxima:
Passo 5
Agora, vamos descobrir em quais horários essas temperaturas ocorreram.
- Temperatura mínima (
) ocorre quando .
Isso acontece quando:
- Temperatura máxima (
) ocorre quando .
Isso acontece quando:
Resposta
A temperatura máxima de
ocorreu às 4, 12, 20, 28 e 36 horas. A temperatura mínima de
ocorreu às 0, 8, 16, 24 e 32 horas.
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
Uma equipe de agrônomos coletou dados de temperatura (
) do solo em uma determinada região durante dois dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita à zero hora da manhã do primeiro dia
e terminou 36 horas depois
. Os dados puderam ser aproximados pela função
, em que
indica o tempo (em horas), decorrido após o início da observação
à temperatura (em
) no instante
.
Determine o período da função.
Determine o período da função.
Resolva as inequações:
Demonstre as seguintes identidades trigonométricas