Resolva as inequações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação
. Isso envolve trigonometria, especificamente a função cosseno. Vamos precisar entender como a função cosseno se comporta no círculo trigonométrico e usar funções inversas para encontrar os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a inequação em duas partes para facilitar:
Vamos resolver cada parte separadamente e depois encontrar a interseção das soluções.
Passo 3
Comecemos com a primeira parte:
.
Sabemos que o cosseno de um ângulo é maior ou igual a
em determinados intervalos no círculo trigonométrico. Para encontrar esses intervalos, usamos a função arco cosseno (também conhecida como
).
Primeiro, encontramos os ângulos onde
:
Como o cosseno é uma função periódica com período
, as soluções gerais são:
A inequação
é satisfeita para
nos intervalos:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Novamente, usamos a função arco cosseno para encontrar os ângulos onde
:
As soluções gerais são:
A inequação
é satisfeita para
nos intervalos:
Passo 5
Agora, precisamos combinar as duas soluções para encontrar os valores de
que satisfazem ambas as inequações simultaneamente.
Temos:
A interseção desses intervalos nos dá os valores de
que atendem ambas as condições. Observando os intervalos:
Resposta
Portanto, as soluções da inequação são todos os
que satisfazem:
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Demonstre as seguintes identidades trigonométricas
Usando a regra do LHôpital calcule os limites:
.
Usando a estratégia de construir gráficos esboce o gráfico de
.