Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: tan theta=cot (pi2-theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de identidades trigonométricas, que são igualdades envolvendo funções trigonométricas que são verdadeiras para todos os valores das variáveis onde as funções estão definidas. A nossa missão é demonstrar que . Para isso, vamos precisar conhecer as definições de tangente ( ) e cotangente ( ), além de entender um pouco sobre funções co-função na trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições das funções trigonométricas envolvidas:
  • Tangente:
  • Cotangente:
Essas definições vão nos ajudar a reescrever a identidade que queremos provar.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado direito da nossa identidade: cot (pi2 - theta) = tan theta . Sabemos que cotangente é a função co-função da tangente, e existe uma relação importante entre funções co-funcionais:
Essa é uma das identidades de co-função na trigonometria, que nos diz que a cotangente de um ângulo complementar é igual à tangente do ângulo original.

Passo 4

Vamos substituir isso na nossa identidade original:
tan theta = cot (pi2 - theta)
De acordo com a identidade de co-função que mencionamos, isso é verdade porque ambas as expressões são iguais a .

Resposta

Portanto, demostramos que é uma identidade trigonométrica verdadeira.

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