Obtenha o limite. ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o limite de uma função quando se aproxima de . O conteúdo aqui é de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e usar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente na função para ver o que acontece:
Substituindo:
Obtemos uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma indeterminação , uma das técnicas que podemos usar é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns. Vamos fatorar o numerador :
Agora, nossa função fica:

Passo 4

Observamos que o termo aparece no numerador e no denominador. Podemos cancelá-lo, desde que (o que é verdade perto de , exceto exatamente nesse ponto). Assim, simplificamos para:

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Use a definição de limites para mostrar que: а) ;
Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas: .
Obtenha o limite. ;
Calcule os limites: ;