Obtenha o limite.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o limite de uma função quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui é de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e usar propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir diretamente
na função para ver o que acontece:
Substituindo:
Obtemos uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando temos uma indeterminação
, uma das técnicas que podemos usar é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns. Vamos fatorar o numerador
:
Agora, nossa função fica:
Passo 4
Observamos que o termo
aparece no numerador e no denominador. Podemos cancelá-lo, desde que
(o que é verdade perto de
, exceto exatamente nesse ponto). Assim, simplificamos para:
Passo 5
Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Use a definição de limites para mostrar que: а)
;
Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas:
.
Obtenha o limite.
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Calcule os limites:
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