Demonstre as seguintes propriedades de funções logarítmicas:
para quaisquer
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos demonstrar a propriedade das funções logarítmicas que diz que
. Isso faz parte do estudo dos logaritmos, especificamente das propriedades dos logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de logaritmo e algumas regras de manipulação de exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Por definição,
significa que
. Então, se temos
, isso significa encontrar o número que precisamos elevar
para obter
.
Passo 3
Vamos chamar
. Então, sabemos que
. Agora, queremos encontrar
. Vamos substituir
por
na expressão
:
Passo 4
Utilizando a regra das potências
, temos:
Passo 5
Agora, sabemos que
é o expoente que multiplica
para resultar em
. Da expressão acima, vemos que esse expoente é
. Portanto:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
Assim, demonstramos que
.