Demonstre as seguintes propriedades de funções logarítmicas:
para quaisquer , e .

Passo 1

Beleza, vamos demonstrar a propriedade das funções logarítmicas que diz que . Isso faz parte do estudo dos logaritmos, especificamente das propriedades dos logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de logaritmo e algumas regras de manipulação de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Por definição, significa que . Então, se temos , isso significa encontrar o número que precisamos elevar para obter .

Passo 3

Vamos chamar . Então, sabemos que . Agora, queremos encontrar . Vamos substituir por na expressão :

Passo 4

Utilizando a regra das potências , temos:

Passo 5

Agora, sabemos que é o expoente que multiplica para resultar em . Da expressão acima, vemos que esse expoente é . Portanto:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Assim, demonstramos que .

Exercícios relacionados

Uma lata de cerveja está a uma temperatura de . Em seguida, ela é posta numa geladeira cuja temperatura interna era . A partir daquele momento, a temperatura dentro da lata de cerveja passou a ser dada pela função , em que é o tempo (em horas) e é uma constante real. Sabendo que, depois de manter a lata por 2 horas na geladeira, a temperatura do líquido em seu interior atingiu , determine a constante e escreva a fórmula de ; esboce o gráfico de para .
Resolva, em , as seguintes equações:
Determine o domínio máximo das seguin-
tes funções:
Determine o domínio máximo das seguin-
tes funções: