Demonstre as seguintes propriedades de funções logarítmicas:
log_a(y^c) = c * log_a(y) para quaisquer 0 < a != 1, y > 0 e c em R.

Passo 1

Beleza, vamos demonstrar a propriedade das funções logarítmicas que diz que . Isso faz parte do estudo dos logaritmos, especificamente das propriedades dos logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de logaritmo e algumas regras de manipulação de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Por definição, significa que . Então, se temos , isso significa encontrar o número que precisamos elevar a para obter .

Passo 3

Vamos chamar . Então, sabemos que . Agora, queremos encontrar . Vamos substituir y por na expressão :

Passo 4

Utilizando a regra das potências , temos:

Passo 5

Agora, sabemos que é o expoente que multiplica a para resultar em . Da expressão acima, vemos que esse expoente é . Portanto:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

Assim, demonstramos que .

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