Uma lata de cerveja está a uma temperatura de
. Em seguida, ela é posta numa geladeira cuja temperatura interna era
. A partir daquele momento, a temperatura dentro da lata de cerveja passou a ser dada pela função
, em que
é o tempo (em horas) e
é uma constante real. Sabendo que, depois de manter a lata por 2 horas na geladeira, a temperatura do líquido em seu interior atingiu
, determine a constante
e escreva a fórmula de
; esboce o gráfico de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lata de cerveja que começa a
e é colocada na geladeira a
. A temperatura da cerveja ao longo do tempo é dada por uma função exponencial:
. A gente precisa descobrir o valor da constante
sabendo que, após 2 horas na geladeira, a temperatura da cerveja caiu para
. Depois, vamos escrever a fórmula completa de
e desenhar o gráfico dessa função no intervalo de 0 a 10 horas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve a temperatura da cerveja:
Aqui,
é a temperatura após
horas,
é a temperatura da geladeira,
é a temperatura inicial da cerveja, e
é a constante que queremos descobrir.
Passo 3
Vamos substituir os valores que já conhecemos na função. Temos:
-
-
- Após
horas,
Então, substituindo na função:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para encontrar
:
Primeiro, subtraímos 5 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 125:
Simplificando
:
Passo 5
Para resolver a equação
, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados. Usaremos o logaritmo na base 2 para facilitar:
Calculando
:
Sabemos que
e
. Nosso valor, 0,08, está entre esses dois. Usando uma calculadora, encontramos que:
Então:
Passo 6
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor de volta na função original para obter a expressão completa da temperatura:
Simplificando:
Passo 7
Por último, vamos esboçar o gráfico de
para
entre 0 e 10 horas. Como
é negativo, a função representa um decaimento exponencial, ou seja, a temperatura da cerveja vai se aproximando da temperatura da geladeira ao longo do tempo.
Gráfico de
para
:
(Nota: Como não posso desenhar aqui, imagine uma curva descendo rapidamente de
, passando por
em 2 horas, e se aproximando de
conforme o tempo aumenta.)
Resposta
A constante
é aproximadamente
e a fórmula da temperatura da cerveja é:
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Resolva, em
, as seguintes equações:
Resolva, em
, as seguintes equações:
Demonstre as seguintes propriedades de funções logarítmicas:
para quaisquer
,
e
.
Determine o domínio máximo das seguin-
tes funções:
tes funções: