Uma lata de cerveja está a uma temperatura de . Em seguida, ela é posta numa geladeira cuja temperatura interna era . A partir daquele momento, a temperatura dentro da lata de cerveja passou a ser dada pela função , em que é o tempo (em horas) e é uma constante real. Sabendo que, depois de manter a lata por 2 horas na geladeira, a temperatura do líquido em seu interior atingiu , determine a constante e escreva a fórmula de ; esboce o gráfico de para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lata de cerveja que começa a e é colocada na geladeira a . A temperatura da cerveja ao longo do tempo é dada por uma função exponencial: . A gente precisa descobrir o valor da constante sabendo que, após 2 horas na geladeira, a temperatura da cerveja caiu para . Depois, vamos escrever a fórmula completa de e desenhar o gráfico dessa função no intervalo de 0 a 10 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a temperatura da cerveja:
Aqui, é a temperatura após horas, é a temperatura da geladeira, é a temperatura inicial da cerveja, e é a constante que queremos descobrir.

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na função. Temos:
  • Após horas,
Então, substituindo na função:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para encontrar :
Primeiro, subtraímos 5 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 125:
Simplificando :

Passo 5

Para resolver a equação , vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados. Usaremos o logaritmo na base 2 para facilitar:
Calculando :
Sabemos que e . Nosso valor, 0,08, está entre esses dois. Usando uma calculadora, encontramos que:
Então:

Passo 6

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor de volta na função original para obter a expressão completa da temperatura:
Simplificando:

Passo 7

Por último, vamos esboçar o gráfico de para entre 0 e 10 horas. Como é negativo, a função representa um decaimento exponencial, ou seja, a temperatura da cerveja vai se aproximando da temperatura da geladeira ao longo do tempo.
Gráfico de para :
Gráfico de T(t)
(Nota: Como não posso desenhar aqui, imagine uma curva descendo rapidamente de , passando por em 2 horas, e se aproximando de conforme o tempo aumenta.)

Resposta

A constante é aproximadamente e a fórmula da temperatura da cerveja é:

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Demonstre as seguintes propriedades de funções logarítmicas:
para quaisquer , e .
Determine o domínio máximo das seguin-
tes funções: