Uma lata de cerveja está a uma temperatura de T0 = 25 °C. Em seguida, ela é posta numa geladeira cuja temperatura interna era Tg = 5 graus C. A partir daquele momento, a temperatura dentro da lata de cerveja passou a ser dada pela função T(t) = Tg + (T0 Tg) 2^(bt), em que t é o tempo (em horas) e b é uma constante real. Sabendo que, depois de manter a lata por 2 horas na geladeira, a temperatura do líquido em seu interior atingiu 15 graus C, determine a constante b e escreva a fórmula de T(t); esboce o gráfico de T(t) para t in [0,10].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma lata de cerveja que começa a 25 graus C e é colocada na geladeira a 5 graus C. A temperatura da cerveja ao longo do tempo é dada por uma função exponencial: . A gente precisa descobrir o valor da constante b sabendo que, após 2 horas na geladeira, a temperatura da cerveja caiu para 15 graus C. Depois, vamos escrever a fórmula completa de T(t) e desenhar o gráfico dessa função no intervalo de 0 a 10 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve a temperatura da cerveja:
Aqui, T(t) é a temperatura após t horas, é a temperatura da geladeira, é a temperatura inicial da cerveja, e b é a constante que queremos descobrir.

Passo 3

Vamos substituir os valores que já conhecemos na função. Temos:
  • Após horas,
Então, substituindo na função:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para encontrar b:
Primeiro, subtraímos 5 de ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 125:
Simplificando :

Passo 5

Para resolver a equação , vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados. Usaremos o logaritmo na base 2 para facilitar:
Calculando :
Sabemos que e . Nosso valor, 0,08, está entre esses dois. Usando uma calculadora, encontramos que:
Então:

Passo 6

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor de volta na função original para obter a expressão completa da temperatura:
Simplificando:

Passo 7

Por último, vamos esboçar o gráfico de T(t) para t entre 0 e 10 horas. Como b é negativo, a função representa um decaimento exponencial, ou seja, a temperatura da cerveja vai se aproximando da temperatura da geladeira ao longo do tempo.
Gráfico de T(t) para :
Gráfico de T(t)
(Nota: Como não posso desenhar aqui, imagine uma curva descendo rapidamente de 25 graus C, passando por 15 graus C em 2 horas, e se aproximando de 5 graus C conforme o tempo aumenta.)

Resposta

A constante b é aproximadamente e a fórmula da temperatura da cerveja é:

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