Demonstre as seguintes propriedades: |x| <= r <=> -r <= x <= r (r > 0) é uma constante).

Passo 1

Então, a gente vai provar que a desigualdade com valor absoluto, , é igual à desigualdade dupla . Aqui, r é uma constante positiva. Vamos usar os conceitos de valor absoluto e desigualdades para mostrar que essas duas formas são equivalentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. Para qualquer número real x, o valor absoluto |x| representa a distância de x até zero na reta numérica. Então, quer dizer que x está a uma distância no máximo r de zero.

Passo 3

Agora, vamos transformar a expressão sem o valor absoluto. Sabemos que significa que x está entre e r. Isso porque a distância de x para zero não pode ser maior que r.

Passo 4

Então, podemos escrever a desigualdade sem o valor absoluto como uma desigualdade dupla: . Isso mostra que x deve ser maior ou igual a e, ao mesmo tempo, menor ou igual a r.

Resposta

Portanto, mostramos que é equivalente a quando .

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