Demonstre as seguintes propriedades:
é uma constante).
Passo 1
Então, a gente vai provar que a desigualdade com valor absoluto,
, é igual à desigualdade dupla
. Aqui,
é uma constante positiva. Vamos usar os conceitos de valor absoluto e desigualdades para mostrar que essas duas formas são equivalentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o valor absoluto. Para qualquer número real
, o valor absoluto
representa a distância de
até zero na reta numérica. Então,
quer dizer que
está a uma distância no máximo
de zero.
Passo 3
Agora, vamos transformar a expressão
sem o valor absoluto. Sabemos que
significa que
está entre
e
. Isso porque a distância de
para zero não pode ser maior que
.
Passo 4
Então, podemos escrever a desigualdade sem o valor absoluto como uma desigualdade dupla:
. Isso mostra que
deve ser maior ou igual a
e, ao mesmo tempo, menor ou igual a
.
Resposta
Portanto, mostramos que
é equivalente a
quando
.