Demonstre as seguintes propriedades: |x| ≥ 0, para todo x em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o valor absoluto de qualquer número real , representado por , é sempre maior ou igual a zero. A matéria aqui é sobre valor absoluto e suas propriedades. Para resolver isso, vamos lembrar o que é valor absoluto e analisar alguns casos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é valor absoluto. O valor absoluto de um número real , escrito como , é a distância desse número até zero na reta numérica. Basicamente, sempre dá um número não negativo.

Passo 3

Agora, vamos considerar dois possíveis cenários para o número :
  1. Caso 1: é maior ou igual a zero ( ).
  2. Caso 2: é menor que zero ( ).

Passo 4

Analisando o Caso 1:
Se , então o valor absoluto de é ele mesmo. Ou seja, . Como é maior ou igual a zero, conclui-se que .
Analisando o Caso 2:
Se , o valor absoluto de é o oposto de , ou seja, . Como é negativo, será positivo ou zero, então novamente temos .

Passo 5

Em ambos os casos, independentemente de ser positivo ou negativo, o valor absoluto sempre resulta em um número que é pelo menos zero.

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo , .

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