Demonstre as seguintes propriedades:
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o valor absoluto de qualquer número real
, representado por
, é sempre maior ou igual a zero. A matéria aqui é sobre valor absoluto e suas propriedades. Para resolver isso, vamos lembrar o que é valor absoluto e analisar alguns casos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é valor absoluto. O valor absoluto de um número real
, escrito como
, é a distância desse número até zero na reta numérica. Basicamente,
sempre dá um número não negativo.
Passo 3
Agora, vamos considerar dois possíveis cenários para o número
:
- Caso 1:
é maior ou igual a zero ( ). - Caso 2:
é menor que zero ( ).
Passo 4
Analisando o Caso 1:
Se , então o valor absoluto de
é ele mesmo. Ou seja,
. Como
é maior ou igual a zero, conclui-se que
.
Se
Analisando o Caso 2:
Se , o valor absoluto de
é o oposto de
, ou seja,
. Como
é negativo,
será positivo ou zero, então novamente temos
.
Se
Passo 5
Em ambos os casos, independentemente de
ser positivo ou negativo, o valor absoluto
sempre resulta em um número que é pelo menos zero.
Resposta
Portanto, demonstramos que para todo
,
.