Demonstre os seguintes resultados das integrais indefinidas:
integral x^n d x=x^n+1n+1+k (n neq-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que a integral indefinida de em relação a é igual a , onde . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da Regra do Poder para Integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra básica de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa integrar . Integrar é encontrar uma função cuja derivada seja . Ou seja, estamos procurando uma função tal que .

Passo 3

Sabemos pela Regra do Poder da Derivada que se F'(x) = ddx( x^n+1n+1 ) = (n+1) cdot x^nn+1 = x^n , então ao derivar , teremos:
Isso mostra que a derivada de é justamente .

Passo 4

Como a derivada de é , isso significa que é uma das funções cuja derivada é . Porém, como estamos falando de integrais indefinidas, não esqueçamos da constante de integração , que representa qualquer constante real adicionada à função.

Passo 5

Então, juntando tudo, a integral indefinida de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + k (n neq -1) em relação a é:
Isso valida a regra do poder para integração quando não é igual a -1.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + k (n neq -1)

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais definidas:
integral-1^1(a x^2+b x+c) d x
Suportado pelas condições inicias:
(i)
x = x0 em t = 0
(ii)
v = v0 em t = 0
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) associado.
Dadas as funções f(x) = 5 - 2 x e g(x) = 3*x^3 - 1, determine:
f(5/2) - f'(5/2) / g'(5/2) =
Encontre x*y + y^2 = 2, encontre d²y/dx².