Demonstre os seguintes resultados das integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para demonstrar que a integral indefinida de
em relação a
é igual a
, onde
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente da Regra do Poder para Integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra básica de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa integrar
. Integrar é encontrar uma função cuja derivada seja
. Ou seja, estamos procurando uma função
tal que
.
Passo 3
Sabemos pela Regra do Poder da Derivada que se
, então ao derivar
, teremos:
Isso mostra que a derivada de
é justamente
.
Passo 4
Como a derivada de
é
, isso significa que
é uma das funções cuja derivada é
. Porém, como estamos falando de integrais indefinidas, não esqueçamos da constante de integração
, que representa qualquer constante real adicionada à função.
Passo 5
Então, juntando tudo, a integral indefinida de
em relação a
é:
Isso valida a regra do poder para integração quando
não é igual a -1.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais definidas:
Suportado pelas condições inicias:
(i)
(i)
(ii)
Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) associado.
Dadas as funções
e
, determine:
Encontre
, encontre
.