Encontre x*y + y^2 = 2, encontre d²y/dx².

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema onde temos a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos utilizar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando não está isolada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo separadamente. Lembre-se que quando diferenciamos , precisamos usar a regra do produto, que diz que :
E para , usamos a regra da cadeia:
A derivada de uma constante, como 2, é zero:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas de volta na equação original:
Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Isolamos :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos diferenciar em relação a :

Passo 7

Vamos usar a regra do quociente para diferenciar . A regra do quociente diz que:
Aqui, e .
Primeiro, calculamos :
E :

Passo 8

Substituímos na fórmula da regra do quociente:
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos na equação acima:
Simplificando cada termo:

Passo 10

Fatorando no numerador:
Colocando tudo sob o mesmo denominador:

Resposta

A segunda derivada de em relação a é:

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