Encontre
, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema onde temos a equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos utilizar o conceito de diferenciação implícita, que é útil quando
não está isolada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
:
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo separadamente. Lembre-se que quando diferenciamos
, precisamos usar a regra do produto, que diz que
:
E para
, usamos a regra da cadeia:
A derivada de uma constante, como 2, é zero:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas de volta na equação original:
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 5
Isolamos
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Para isso, vamos diferenciar
em relação a
:
Passo 7
Vamos usar a regra do quociente para diferenciar
. A regra do quociente diz que:
Aqui,
e
.
Primeiro, calculamos
:
E
:
Passo 8
Substituímos na fórmula da regra do quociente:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos
na equação acima:
Simplificando cada termo:
Passo 10
Fatorando
no numerador:
Colocando tudo sob o mesmo denominador:
Resposta
A segunda derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Dadas as funções
e
, determine:
Demonstre os seguintes resultados das integrais indefinidas:
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto
. Justifique.
(a) .
(a)
Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.