Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
c)
e
têm a mesma paridade se, e somente se,
é par.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que dois números inteiros
e
têm a mesma paridade se, e somente se, a soma
é par. Estamos falando de paridade aqui, que é basicamente se um número é par ou ímpar. Pra resolver, vamos precisar das definições de números pares e ímpares e saber manipular essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar:
- Par: Um número é par se ele pode ser escrito como
, onde é um inteiro. - Ímpar: Um número é ímpar se ele pode ser escrito como
, onde é um inteiro.
Ter a mesma paridade significa que ambos são pares ou ambos são ímpares.
Passo 3
Agora, vamos dividir a demonstração em duas partes, porque estamos lidando com um “se e somente se” (bicondicional):
- Se
e têm a mesma paridade, então é par. - Se
é par, então e têm a mesma paridade.
Passo 4
Parte 1: Se
e
têm a mesma paridade, então
é par.
-
Caso 1: Ambos são pares.
- Podemos escrever
e , onde e são inteiros. - então
, que é par.
- Podemos escrever
-
Caso 2: Ambos são ímpares.
- Podemos escrever
e , onde e são inteiros. - então
, que também é par.
- Podemos escrever
Então, se
e
têm a mesma paridade,
é par.
Passo 5
Parte 2: Se
é par, então
e
têm a mesma paridade.
-
Sabemos que a soma de dois números só é par se:
- Ambos forem pares, ou
- Ambos forem ímpares.
-
Se
é par, então: - Caso 1: Se
for par, também deve ser par para que a soma dê par. - Caso 2: Se
for ímpar, também deve ser ímpar para que a soma dê par.
- Caso 1: Se
Portanto, se
é par,
e
têm a mesma paridade.
Resposta
Com isso, mostramos que
e
têm a mesma paridade se, e somente se,
é par.
Exercícios relacionados
Além de escolha pessoal, a maneira de apresentar teoremas depende da linguagem matemática da época em que foram enunciados pela primeira vez. Os teoremas a seguir são muito conhecidos, mas estão escritos de forma diferente daquela à qual estamos acostumados. Em cada caso, descubra qual é o teorema e reescreva-o na linguagem atual.
a) Se um segmento de reta for dividido aleatoriamente em dois pedaços, o quadrado construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados sobre os segmentos parciais mais duas vezes os retângulos construídos por esses segmentos. (EUCLIDEs)
a) Se um segmento de reta for dividido aleatoriamente em dois pedaços, o quadrado construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados sobre os segmentos parciais mais duas vezes os retângulos construídos por esses segmentos. (EUCLIDEs)
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
b) O produto de dois números inteiros é zero, desde que um desses números seja zero.
b) O produto de dois números inteiros é zero, desde que um desses números seja zero.
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
h) Se , então
.
h) Se
Encontre o erro nas demonstrações dos seguintes
b) Se e
são inteiros
, então
.
Como , temos
. Como
, segue,
. Daí,
.
b) Se
Como