Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
c) e têm a mesma paridade se, e somente se, é par.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que dois números inteiros e têm a mesma paridade se, e somente se, a soma é par. Estamos falando de paridade aqui, que é basicamente se um número é par ou ímpar. Pra resolver, vamos precisar das definições de números pares e ímpares e saber manipular essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar:
  • Par: Um número é par se ele pode ser escrito como , onde é um inteiro.
  • Ímpar: Um número é ímpar se ele pode ser escrito como , onde é um inteiro.
Ter a mesma paridade significa que ambos são pares ou ambos são ímpares.

Passo 3

Agora, vamos dividir a demonstração em duas partes, porque estamos lidando com um “se e somente se” (bicondicional):
  1. Se e têm a mesma paridade, então é par.
  2. Se é par, então e têm a mesma paridade.

Passo 4

Parte 1: Se e têm a mesma paridade, então é par.
  • Caso 1: Ambos são pares.
    • Podemos escrever e , onde e são inteiros.
    • então , que é par.
  • Caso 2: Ambos são ímpares.
    • Podemos escrever e , onde e são inteiros.
    • então , que também é par.
Então, se e têm a mesma paridade, é par.

Passo 5

Parte 2: Se é par, então e têm a mesma paridade.
  • Sabemos que a soma de dois números só é par se:
    • Ambos forem pares, ou
    • Ambos forem ímpares.
  • Se é par, então:
    • Caso 1: Se for par, também deve ser par para que a soma dê par.
    • Caso 2: Se for ímpar, também deve ser ímpar para que a soma dê par.
Portanto, se é par, e têm a mesma paridade.

Resposta

Com isso, mostramos que e têm a mesma paridade se, e somente se, é par.

Exercícios relacionados

Além de escolha pessoal, a maneira de apresentar teoremas depende da linguagem matemática da época em que foram enunciados pela primeira vez. Os teoremas a seguir são muito conhecidos, mas estão escritos de forma diferente daquela à qual estamos acostumados. Em cada caso, descubra qual é o teorema e reescreva-o na linguagem atual.
a) Se um segmento de reta for dividido aleatoriamente em dois pedaços, o quadrado construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados sobre os segmentos parciais mais duas vezes os retângulos construídos por esses segmentos. (EUCLIDEs)
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
b) O produto de dois números inteiros é zero, desde que um desses números seja zero.
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
h) Se , então .
Encontre o erro nas demonstrações dos seguintes
b) Se e são inteiros , então .
Como , temos . Como , segue, . Daí, .