Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
h) Se , então .

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é provar que, se é um número inteiro diferente de zero, então o quadrado dele, , é sempre maior que zero. Estamos lidando com propriedades de números inteiros e suas operações, especificamente a operação de quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número inteiro pode ser positivo ou negativo, exceto o zero que é neutro. Quando a gente eleva um número ao quadrado, ou seja, multiplica ele por ele mesmo, o resultado sempre vai ser positivo ou zero. Isso porque:
  • Se é positivo, dá um número positivo.
  • Se é negativo, , que também é positivo.
  • Se , então .

Passo 3

Agora, como o enunciado nos diz que , podemos descartar o caso em que . Portanto, nos restam apenas os casos em que é positivo ou negativo. Em ambos os casos, como vimos, é positivo.

Resposta

Assim, demostramos que se , então .

Exercícios relacionados

Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
c) e têm a mesma paridade se, e somente se, é par.
Além de escolha pessoal, a maneira de apresentar teoremas depende da linguagem matemática da época em que foram enunciados pela primeira vez. Os teoremas a seguir são muito conhecidos, mas estão escritos de forma diferente daquela à qual estamos acostumados. Em cada caso, descubra qual é o teorema e reescreva-o na linguagem atual.
a) Se um segmento de reta for dividido aleatoriamente em dois pedaços, o quadrado construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados sobre os segmentos parciais mais duas vezes os retângulos construídos por esses segmentos. (EUCLIDEs)
Encontre o erro nas demonstrações dos seguintes
b) Se e são inteiros , então .
Como , temos . Como , segue, . Daí, .
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
d) Se e têm a mesma paridade, então é par.