Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
h) Se
, então
.
h) Se
Passo 1
Beleza, o que a gente precisa fazer aqui é provar que, se
é um número inteiro diferente de zero, então o quadrado dele,
, é sempre maior que zero. Estamos lidando com propriedades de números inteiros e suas operações, especificamente a operação de quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número inteiro pode ser positivo ou negativo, exceto o zero que é neutro. Quando a gente eleva um número ao quadrado, ou seja, multiplica ele por ele mesmo, o resultado sempre vai ser positivo ou zero. Isso porque:
- Se
é positivo, dá um número positivo. - Se
é negativo, , que também é positivo. - Se
, então .
Passo 3
Agora, como o enunciado nos diz que
, podemos descartar o caso em que
. Portanto, nos restam apenas os casos em que
é positivo ou negativo. Em ambos os casos, como vimos,
é positivo.
Resposta
Assim, demostramos que se
, então
.
Exercícios relacionados
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
c) e
têm a mesma paridade se, e somente se,
é par.
c)
Além de escolha pessoal, a maneira de apresentar teoremas depende da linguagem matemática da época em que foram enunciados pela primeira vez. Os teoremas a seguir são muito conhecidos, mas estão escritos de forma diferente daquela à qual estamos acostumados. Em cada caso, descubra qual é o teorema e reescreva-o na linguagem atual.
a) Se um segmento de reta for dividido aleatoriamente em dois pedaços, o quadrado construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados sobre os segmentos parciais mais duas vezes os retângulos construídos por esses segmentos. (EUCLIDEs)
a) Se um segmento de reta for dividido aleatoriamente em dois pedaços, o quadrado construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados sobre os segmentos parciais mais duas vezes os retângulos construídos por esses segmentos. (EUCLIDEs)
Encontre o erro nas demonstrações dos seguintes
b) Se e
são inteiros
, então
.
Como , temos
. Como
, segue,
. Daí,
.
b) Se
Como
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
d) Se e
têm a mesma paridade, então
é par.
d) Se