Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
c) O número
é irracional.
c) O número
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever, de maneira geral, o que seria preciso fazer para demonstrar que o número
é irracional. Isso está dentro do campo da Teoria dos Números, mais especificamente relacionado às propriedades dos números irracionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número ser irracional e como podemos provar essa característica para o
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração
, onde
e
são números inteiros e
é diferente de zero. Isso significa que sua representação decimal é infinita e não periódica.
Passo 3
Para demonstrar que
é irracional, geralmente usamos uma técnica chamada prova por contradição. Essa técnica consiste em assumir que a afirmação que queremos provar é falsa e, a partir daí, chegar a uma contradição lógica, o que nos leva a concluir que a afirmação original deve ser verdadeira.
Passo 4
Então, vamos começar assumindo o oposto do que queremos provar. Ou seja, vamos supor que
é racional. Se
é racional, podemos escrevê-lo como uma fração
, onde
e
são inteiros e
.
Passo 5
Com essa suposição, exploraríamos as propriedades desse tipo de fração e como elas se relacionam com a definição de
. Provavelmente, usaríamos séries infinitas ou outras propriedades matemáticas avançadas para mostrar que essa suposição leva a uma contradição, como inconsistências nas propriedades decimais de
.
Resposta
Dessa forma, ao assumir inicialmente que
é racional e seguir uma sequência lógica de argumentos que levam a uma contradição, concluímos que a suposição original está errada. Portanto,
deve ser irracional.
Exercícios relacionados
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
a) Se a soma dos algarismos de um número for divisível por 9 , então esse número é divisível por 9 .
a) Se a soma dos algarismos de um número for divisível por 9 , então esse número é divisível por 9 .
Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso
determine sua negação.
b)
b)
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
g) Se , então
ou
.
g) Se
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação não tem solução formada por
primos.
I) A equação