Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
c) O número é irracional.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descrever, de maneira geral, o que seria preciso fazer para demonstrar que o número é irracional. Isso está dentro do campo da Teoria dos Números, mais especificamente relacionado às propriedades dos números irracionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número ser irracional e como podemos provar essa característica para o .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser expresso como uma fração , onde e são números inteiros e é diferente de zero. Isso significa que sua representação decimal é infinita e não periódica.

Passo 3

Para demonstrar que é irracional, geralmente usamos uma técnica chamada prova por contradição. Essa técnica consiste em assumir que a afirmação que queremos provar é falsa e, a partir daí, chegar a uma contradição lógica, o que nos leva a concluir que a afirmação original deve ser verdadeira.

Passo 4

Então, vamos começar assumindo o oposto do que queremos provar. Ou seja, vamos supor que é racional. Se é racional, podemos escrevê-lo como uma fração , onde e são inteiros e .

Passo 5

Com essa suposição, exploraríamos as propriedades desse tipo de fração e como elas se relacionam com a definição de . Provavelmente, usaríamos séries infinitas ou outras propriedades matemáticas avançadas para mostrar que essa suposição leva a uma contradição, como inconsistências nas propriedades decimais de .

Resposta

Dessa forma, ao assumir inicialmente que é racional e seguir uma sequência lógica de argumentos que levam a uma contradição, concluímos que a suposição original está errada. Portanto, deve ser irracional.

Exercícios relacionados

Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
a) Se a soma dos algarismos de um número for divisível por 9 , então esse número é divisível por 9 .
Escreva cada uma das proposições a seguir em linguagem natural, decida seu valor lógico no universo de discurso determine sua negação.
b)
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
g) Se , então ou .
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação não tem solução formada por primos.