Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
g) Se
, então
ou
.
g) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos provar um teorema sobre números inteiros que diz: “Se
, então
ou
.” Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas da multiplicação de inteiros, especialmente a ideia de que o único número que, quando multiplicado por outro, resulta em zero é o próprio zero.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
. Nosso objetivo é mostrar que isso implica que pelo menos um dos números,
ou
, deve ser zero.
Passo 3
Vamos considerar dois casos:
-
Caso 1: Suponha que
. Se não é zero, podemos dividir ambos os lados da equação por para isolar : Portanto, senão é zero, deve ser zero. -
Caso 2: Suponha que
. Da mesma forma, se não é zero, dividimos ambos os lados por : Assim, senão é zero, deve ser zero.
Passo 4
Como vimos nos dois casos, se um dos números não for zero, o outro necessariamente será zero para que o produto seja zero. Isso cobre todas as possibilidades possíveis para os valores de
e
.
Resposta
Portanto, demonstramos que se
, então
ou
.