Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
g) Se
, então
ou
.
g) Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos provar um teorema sobre números inteiros que diz: “Se
, então
ou
.” Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas da multiplicação de inteiros, especialmente a ideia de que o único número que, quando multiplicado por outro, resulta em zero é o próprio zero.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que
. Nosso objetivo é mostrar que isso implica que pelo menos um dos números,
ou
, deve ser zero.
Passo 3
Vamos considerar dois casos:
-
Caso 1: Suponha que
. Se não é zero, podemos dividir ambos os lados da equação por para isolar : Portanto, senão é zero, deve ser zero. -
Caso 2: Suponha que
. Da mesma forma, se não é zero, dividimos ambos os lados por : Assim, senão é zero, deve ser zero.
Passo 4
Como vimos nos dois casos, se um dos números não for zero, o outro necessariamente será zero para que o produto seja zero. Isso cobre todas as possibilidades possíveis para os valores de
e
.
Resposta
Portanto, demonstramos que se
, então
ou
.
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Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
c) O número é irracional.
c) O número
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
a) Se a soma dos algarismos de um número for divisível por 9 , então esse número é divisível por 9 .
a) Se a soma dos algarismos de um número for divisível por 9 , então esse número é divisível por 9 .
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação não tem solução formada por
primos.
I) A equação
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
d)
d)