Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
g) Se , então ou .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos provar um teorema sobre números inteiros que diz: “Se , então ou .” Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas da multiplicação de inteiros, especialmente a ideia de que o único número que, quando multiplicado por outro, resulta em zero é o próprio zero.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que . Nosso objetivo é mostrar que isso implica que pelo menos um dos números, ou , deve ser zero.

Passo 3

Vamos considerar dois casos:
  1. Caso 1: Suponha que . Se não é zero, podemos dividir ambos os lados da equação por para isolar :
    Portanto, se não é zero, deve ser zero.
  2. Caso 2: Suponha que . Da mesma forma, se não é zero, dividimos ambos os lados por :
    Assim, se não é zero, deve ser zero.

Passo 4

Como vimos nos dois casos, se um dos números não for zero, o outro necessariamente será zero para que o produto seja zero. Isso cobre todas as possibilidades possíveis para os valores de e .

Resposta

Portanto, demonstramos que se , então ou .

Exercícios relacionados

Os teoremas a seguir ficam artificiais quando escritos como condicionais. Em cada caso, descreva em linhas gerais o que seria preciso fazer para demonstrá-los.
c) O número é irracional.
Para cada um dos teoremas a seguir, identifique a hipótese, a tese e, se for o caso, reescreva na forma condicional.
a) Se a soma dos algarismos de um número for divisível por 9 , então esse número é divisível por 9 .
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
I) A equação não tem solução formada por primos.
Uma tautologia é uma proposição composta que é sempre verdadeira. Determine quais das seguintes são tautologias:
d)