Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
e) m e n têm a mesma paridade se, e somente se, m^2 - n^2 é par.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente prove que dois números inteiros, e , têm a mesma paridade (ou seja, ambos são pares ou ambos são ímpares) se e somente se a diferença dos seus quadrados, , for um número par. Vamos usar um pouco de álgebra e as propriedades dos números pares e ímpares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele pode ser escrito como , onde é um inteiro. Um número é ímpar se pode ser escrito como , onde é um inteiro.

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas direções da nossa afirmação:
  1. Se e têm a mesma paridade, então é par.
  2. Se é par, então e têm a mesma paridade.
Vamos começar com a primeira parte.

Passo 4

Primeira parte: Suponha que e são ambos pares ou ambos ímpares.
  • Caso 1: Se e são ambos pares, então podemos escrever:
    onde e são inteiros. Calculando :
    Como é inteiro, é múltiplo de 2, ou seja, é par.
  • Caso 2: Se e são ambos ímpares, então podemos escrever:
    Calculando :
    Fatorando:
    Novamente, isso mostra que é múltiplo de 2, ou seja, é par.

Passo 5

Segunda parte: Agora, vamos provar que se é par, então e têm a mesma paridade.
Sabemos que a diferença de quadrados pode ser escrita como:
Para que seja par, pelo menos um dos fatores ou deve ser par.
Vamos analisar os casos possíveis:
  • Caso 1: Se e têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares), então e serão pares, fazendo com que o produto seja par.
  • Caso 2: Se e têm paridades diferentes (um par e o outro ímpar), então tanto quanto serão ímpares, e o produto de dois ímpares é ímpar. Isso contradiz a suposição de que é par.
Portanto, para ser par, e devem ter a mesma paridade.

Resposta

Então, mostramos que e têm a mesma paridade se, e somente se, é par.

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