Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
e)
e
têm a mesma paridade se, e somente se,
é par.
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado quer que a gente prove que dois números inteiros,
e
, têm a mesma paridade (ou seja, ambos são pares ou ambos são ímpares) se e somente se a diferença dos seus quadrados,
, for um número par. Vamos usar um pouco de álgebra e as propriedades dos números pares e ímpares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser par ou ímpar. Um número é par se ele pode ser escrito como
, onde
é um inteiro. Um número é ímpar se pode ser escrito como
, onde
é um inteiro.
Passo 3
Agora, vamos considerar as duas direções da nossa afirmação:
- Se
e têm a mesma paridade, então é par. - Se
é par, então e têm a mesma paridade.
Vamos começar com a primeira parte.
Passo 4
Primeira parte: Suponha que
e
são ambos pares ou ambos ímpares.
-
Caso 1: Se
e são ambos pares, então podemos escrever: ondee são inteiros. Calculando : Comoé inteiro, é múltiplo de 2, ou seja, é par. -
Caso 2: Se
e são ambos ímpares, então podemos escrever: Calculando: Fatorando:Novamente, isso mostra queé múltiplo de 2, ou seja, é par.
Passo 5
Segunda parte: Agora, vamos provar que se
é par, então
e
têm a mesma paridade.
Sabemos que a diferença de quadrados pode ser escrita como:
Para que
seja par, pelo menos um dos fatores
ou
deve ser par.
Vamos analisar os casos possíveis:
-
Caso 1: Se
e têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares), então e serão pares, fazendo com que o produto seja par. -
Caso 2: Se
e têm paridades diferentes (um par e o outro ímpar), então tanto quanto serão ímpares, e o produto de dois ímpares é ímpar. Isso contradiz a suposição de que é par.
Portanto, para
ser par,
e
devem ter a mesma paridade.
Resposta
Então, mostramos que
e
têm a mesma paridade se, e somente se,
é par.
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