Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
d) Se
e
têm a mesma paridade, então
é par.
d) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática sobre números inteiros. O enunciado diz: “Se
e
têm a mesma paridade, então
é par.” Aqui, estamos lidando com o conceito de paridade (se um número é par ou ímpar) e queremos provar que, se dois números têm a mesma paridade, a soma de seus quadrados é um número par. Para isso, vamos usar propriedades básicas da aritmética de números pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter a mesma paridade. Dois números têm a mesma paridade se ambos são pares ou ambos são ímpares.
-
Número Par: É qualquer número inteiro que pode ser dividido por 2 sem deixar resto. Matematicamente, dizemos que um número
é par se existe um inteiro tal que . -
Número Ímpar: É todo número inteiro que, quando dividido por 2, deixa resto 1. Ou seja, um número
é ímpar se existe um inteiro tal que .
Passo 3
Vamos dividir a prova em dois casos, já que
e
podem ser ambos pares ou ambos ímpares.
Caso 1:
e
são ambos pares
Se
e
são pares, então podemos escrever:
onde
e
são inteiros.
Agora, vamos calcular
:
Como
é claramente múltiplo de 2, então
é par.
Caso 2:
e
são ambos ímpares
Se
e
são ímpares, podemos escrever:
onde
e
são inteiros.
Calculando
:
Podemos fatorar:
Novamente, percebemos que é múltiplo de 2, então
é par.
Resposta
Portanto, demonstramos que se
e
têm a mesma paridade, então
é um número par.
Exercícios relacionados
Encontre o erro nas demonstrações dos seguintes
b) Se e
são inteiros
, então
.
Como , temos
. Como
, segue,
. Daí,
.
b) Se
Como
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
h) Se , então
.
h) Se
Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
i) Se 5 divide e
, então 5 divide
.
i) Se 5 divide
Encontre o erro nas demonstrações dos seguintes
c)
Sejam m, números iguais quaisquer. Então,
. Multiplicando por
dos dois lados, temos
. Subtraindo
, segue
. Assim, como
c)
Sejam m,
Cancelando
de ambos os lados, segue
. Tomando
, obtemos
ou, equivalentemente,
.