Demonstre os seguintes teoremas a respeito de números inteiros pelo método que julgar mais adequado:
d) Se m e n têm a mesma paridade, então m^2 + n^2 é par.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática sobre números inteiros. O enunciado diz: “Se e têm a mesma paridade, então é par.” Aqui, estamos lidando com o conceito de paridade (se um número é par ou ímpar) e queremos provar que, se dois números têm a mesma paridade, a soma de seus quadrados é um número par. Para isso, vamos usar propriedades básicas da aritmética de números pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a mesma paridade. Dois números têm a mesma paridade se ambos são pares ou ambos são ímpares.
  • Número Par: É qualquer número inteiro que pode ser dividido por 2 sem deixar resto. Matematicamente, dizemos que um número é par se existe um inteiro tal que .
  • Número Ímpar: É todo número inteiro que, quando dividido por 2, deixa resto 1. Ou seja, um número é ímpar se existe um inteiro tal que .

Passo 3

Vamos dividir a prova em dois casos, já que e podem ser ambos pares ou ambos ímpares.
Caso 1: e são ambos pares
Se e são pares, então podemos escrever:
onde e são inteiros.
Agora, vamos calcular :
Como é claramente múltiplo de 2, então é par.
Caso 2: e são ambos ímpares
Se e são ímpares, podemos escrever:
onde e são inteiros.
Calculando :
Podemos fatorar:
Novamente, percebemos que é múltiplo de 2, então é par.

Resposta

Portanto, demonstramos que se e têm a mesma paridade, então é um número par.

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