Resolva o problema de valor inicial { dr/dt = e^(-t) i + 3t^2 j, r(0) = 2i - 8j }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a posição r muda com o tempo t. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo diferencial, especialmente integração de vetores. Precisamos integrar a derivada de r em relação a t e depois aplicar a condição inicial para encontrar a posição final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
Aqui, é o vetor posição, e e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar r(t), precisamos integrar cada componente da equação diferencial em relação a t. Ou seja, vamos integrar a parte de i e a parte de j separadamente.

Passo 4

Integrando a componente i:
Aqui, é uma constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Integrando a componente j:
Assim, é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos as duas componentes para escrever a função posição geral:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar as constantes e .
Substituindo :
Simplificando:

Passo 8

Agora que temos os valores de e , substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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