Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial! A gente tem uma equação diferencial que descreve como a posição r muda com o tempo t. O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo diferencial, especialmente integração de vetores. Precisamos integrar a derivada de r em relação a t e depois aplicar a condição inicial para encontrar a posição final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial:
Aqui,
é o vetor posição, e
e
são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar r(t), precisamos integrar cada componente da equação diferencial em relação a t. Ou seja, vamos integrar a parte de i e a parte de j separadamente.
Passo 4
Integrando a componente i:
Aqui,
é uma constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Integrando a componente j:
Assim,
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, juntamos as duas componentes para escrever a função posição geral:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar as constantes
e
.
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 8
Agora que temos os valores de
e
, substituímos de volta na expressão de
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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