Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma
© sumn=1^infty pi^n3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício. A gente precisa descobrir se a série infinita converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também calcula a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de série geométrica e entender como determinar se ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para deixar mais claro que ela é geométrica. Observe que:
sumn=1^infty pi^n3^n+1 = 13 sumn=1^infty ( pi3 )^n
Aqui, a gente isolou o termo fora da soma. Agora, temos uma série geométrica da forma , onde e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar das condições para uma série geométrica convergir. Essa série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.

Passo 4

No nosso caso, a razão | pi3 | = pi3 approx 3,14163 approx 1,0472 é . Vamos calcular o valor absoluto dela:
Como , temos que .

Resposta

A série diverge.

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