Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, especificamente o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Observamos que , então a série fica:
Agora, identificamos o termo geral da série:

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Raiz utiliza o limite:
Simplificando isso, temos:
Sabemos que , então:
Portanto, o limite simplifica para:

Passo 4

Para a série convergir, o limite do Teste da Raiz deve ser menor que 1:
Resolvendo para :
Isso significa que o raio de convergência é .

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos extremos e .
Para :
A série se torna , que é uma série p com . Essa série converge.
Para :
Novamente, temos a série , que converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;
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é convergente, mas não é absolutamente convergente.
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