Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência. (2,0) sumn=1^infty 4^n x^2 nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
sumn=1^infty 4^n x^2nn^2
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, especificamente o Teste da Raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Observamos que sumn=1^infty (4x^2)^nn^2 , então a série fica:
an = (4x^2)^nn^2
Agora, identificamos o termo geral da série:

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de limn to infty raiz[n]|an| = limn to infty raiz[n]|4^n x^2nn^2| a série converge.
O Teste da Raiz utiliza o limite:
limn to infty raiz[n]4^n cdot raiz[n]x^2n cdot raiz[n]1n^2 = 4 |x|^2 cdot limn to infty 1n^2/n
Simplificando isso, temos:
limn to infty 1n^2/n = 1
Sabemos que 4x^2 , então:
Portanto, o limite simplifica para:

Passo 4

Para a série convergir, o limite do Teste da Raiz deve ser menor que 1:
4x^2 < 1
Resolvendo para x^2 < 14 implies |x| < 12 :
Isso significa que o raio de convergência é .

Passo 5

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos extremos an = 4^n (12)^2nn^2 = 4^n cdot 14^nn^2 = 1n^2 e an = 4^n (-12)^2nn^2 = 4^n cdot 14^nn^2 = 1n^2 .
Para :
A série se torna , que é uma série p com . Essa série converge.
Para :
Novamente, temos a série , que converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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