Para as séries de potências a seguir, determine o seu raio de convergência e intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências dada:
Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, especificamente o Teste da Raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Observamos que , então a série fica:
Agora, identificamos o termo geral da série:
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
O Teste da Raiz utiliza o limite:
Simplificando isso, temos:
Sabemos que , então:
Portanto, o limite simplifica para:
Passo 4
Para a série convergir, o limite do Teste da Raiz deve ser menor que 1:
Resolvendo para :
Isso significa que o raio de convergência é .
Passo 5
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência verificando os pontos extremos e .
Para :
A série se torna , que é uma série p com . Essa série converge.
Para :
Novamente, temos a série , que converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .