Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
y = x^2 - 1 e y = x + 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre cálculo integral, especialmente como determinar a área entre duas curvas. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas para definir os limites de integração e depois integrar a diferença entre as funções dentro desses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando é igual a . Então, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de :

Passo 3

Para resolver a equação quadrática , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo esses valores:
Então, as soluções são:

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção ( e ), precisamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo para calcular a área corretamente. Vamos escolher um valor de entre -1 e 2, por exemplo, :
á
Como , a função linear está acima da função quadrática nesse intervalo.

Passo 5

A fórmula para encontrar a área entre duas curvas e de a é:
Á
Neste caso, e , com e . Então, a área será:
Á

Passo 6

Vamos integrar a função em relação a :
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de a :
Á

Passo 7

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados