Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
usando integrais definidas. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre cálculo integral, especialmente como determinar a área entre duas curvas. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção das curvas para definir os limites de integração e depois integrar a diferença entre as funções dentro desses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso acontece quando
é igual a
. Então, igualamos as duas equações:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Passo 3
Para resolver a equação quadrática
, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo esses valores:
Então, as soluções são:
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção (
e
), precisamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo para calcular a área corretamente. Vamos escolher um valor de
entre -1 e 2, por exemplo,
:
Como
, a função linear
está acima da função quadrática
nesse intervalo.
Passo 5
A fórmula para encontrar a área entre duas curvas
e
de
a
é:
Neste caso,
e
, com
e
. Então, a área será:
Passo 6
Vamos integrar a função
em relação a
:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de
a
:
Passo 7
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.